| Aus der Impulsmethode lassen sich Aussagen über die Konvergenz
der Fourier-Transformierten machen. Differenziert man eine Unstetigkeitsstelle,
so tritt ein Diracimpuls auf. Aus Gleichung |
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(6-42) |
| folgt, hat die Funktion selbst eine Unstetigkeit, tritt ein
Diracimpuls in der ersten Ableitung auf. Ist die Funktion selbst stetig
und besitzt die erste Ableitung eine Sprungstelle, so tritt der Diracimpuls
in der zweiten Ableitung auf usw.. Man kann sagen: |
| Ist die Funktion y(t)
einschließlich ihrer ersten (p-1) Ableitungen
überall stetig und differenzierbar und ist die p-te
Ableitung die erste, die an endlich vielen Stellen unstetig ist, d.h. Sprünge
besitzt, so nimmt die Fourier-Transformierte mit der Kreisfrequenz entsprechen
1/ωp+1 ab. |
| Diese Aussage läßt sich auch auf periodische Funktionen
anwenden. Ist die periodische Funktion im Intervall |
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(6-43) |
| einschließlich ihrer ersten (p
-1) Ableitungen überall stetig und differenzierbar und ist die p-te
Ableitung die erste, die an endlich vielen Stellen des Intervalls einschließlich
der Grenzen unstetig ist, so nehmen die Beträge der Fourier-Koeffizienten
|Ck| für große
k (d.h. für hohe Frequenzen) wie 1/kp+1
ab. |
