Kompendium > Wellenausbreitung auf verlustlosen Leitungen

Lösungsansatz, Wellenparameter

Für die verlustlose Leitung R' = 0, G' = 0 erhält man aus den Gleichungen (10), (11) das Gleichungspaar:
, (15)
. (16)
Als Lösungsansatz für das Gleichungssystem (15), (16) untersuchen wir das Lösungspaar (d´Alembert)  

(17)
mit festen Werten U1, I1 und f1 dimensionslos und beliebigem Profil.
Setzt man die Ableitungen		  
(18)
in die Gleichungen (15), (16) ein,
(19)
ist das Gleichungspaar (17) dann eine Lösung, wenn gleichzeitig die Bedingungen gelten
(20)
(21)
Die Interpretation ist, dass u1(x,t), i1(x,t) Spannungs- und Stromwellen gleichen Profils sind, die in positiver x-Richtung (vom Anfang zum Ende der Leitung) mit der Wellengeschwindigkeit v laufen und deren Festwerte U1, I1 durch den Wellenwiderstand ZW verknüpft sind.
Die gleichen Überlegungen kann man für das Lösungspaar

(22)
anstellen.
Setzt man die Ableitungen
(23)
in die Gleichungen (15), (16) ein,
(24)
ist das Gleichungspaar (22) dann eine Lösung, wenn gleichzeitig die Bedingungen gelten
(25)
(26)
Die Interpretation ist, dass u2(x,t), i2(x,t) Spannungs- und Stromwellen gleichen Profils sind, die in negativer x-Richtung (vom Ende zum Anfang der Leitung) mit der Wellengeschwindigkeit v laufen und deren Festwerte U2, I2 durch den Wellenwiderstand ZW über U2 = -ZW I2 verknüpft sind.
Damit lautet die allgemeine Lösung für die Wellenausbreitung auf der verlustlosen Leitung
(27)
(28)
ZW (Wellenwiderstand) und v (Wellengeschwindigkeit) nach den Gleichungen (20), (21), (25) und (26) sind die sogenannten Wellenparameter der verlustlosen Leitung.
Wir vereinbaren für den Wellenwiderstand
(29)
und berücksichtigen das Vorzeichen in Gleichung (25) im Ansatz für die Stromverteilung
i(x,t) = i1(x,t) - i2(x,t). (30)

Das Profil der Funktionen f1, f2 und die Festwerte U1, U2 folgen aus den vorgegebenen Anfangs- und Randbedingungen für eine konkrete Anordnung.