Temperaturabhängigkeit des Widerstandes
Die Elektronen führen eine schnelle thermische Wimmelbewegung aus, der die langsame Driftgeschwindigkeit in Gegenfeldrichtung überlagert ist (Gleichung (38))
Die Aussage des ohmschen Gesetzes (Gleichung (42)) ist, dass bei konstant gehaltener Temperatur die Elektronenbeweglichkeit \( b \) über Zehnerpotenzen unabhängig von der Feldstärke \( \vec{E} \) ist. Mit wachsender Temperatur werden die thermischen Schwingungen der Gitteratome stärker, ebenso nimmt die thermische Geschwindigkeit der Elektronen mit der Temperatur zu. Der experimentelle Befund ist, dass der spezifische Widerstand \( \mathrm{ϱ} \) in einem weiten Temperaturbereich linear mit der Temperatur anwächst.
Die Temperaturabhängigkeit von \( \mathrm{ϱ} \) und \( \mathrm{κ} \) bei metallischen Leitern steckt ganz in der Beweglichkeit \( b \) der Elektronen, während ihre Anzahldichte \( n \) von der Temperatur unabhängig ist:
\( κ(T) = n·\mathrm{e}·b(T) \) | (59) |
Bei sehr tiefen Temperaturen findet man ein Abweichen vom linearen Verhalten. Der spezifische Widerstand \( \mathrm{ϱ} \) biegt in einen konstanten Wert, den sogenannten Restwiderstand um (z. B.: Cu, An). Ursache ist die Behinderung der Elektronenbewegung durch Fremdatome (Verunreinigungen). Diese Behinderung überwiegt die Behinderung durch die allmählich ausfrierenden Gitterschwingungen.
Bei anderen metallischen Leitern bricht der Widerstand bei einer charakteristischen Sprungtemperatur \( T_\mathrm{S} \) auf den Wert Null zusammen. Sie werden supraleitend (z. B. Al \( T_\mathrm{S} = 1{,}19 \, \mathrm{K} \); Pb \( T_\mathrm{S} = 7{,}2 \, \mathrm{K} \)). Zur Beschreibung der Temperaturabhängigkeit des Widerstandes dient die Kennlinie \( R = R(ϑ) \) gemäß dem folgendem Diagramm:
- Temperaturabhängigkeit des Widerstandes
Die Verlängerung der Widerstandsgeraden schneidet die Temperaturachse im Punkt \( ϑ_0 \), eine Materialkonstante
(z. B. Cu \( ϑ_0 = -235°\mathrm{C} \); Al \( ϑ_0 = -250°\mathrm{C} \)).
Zur Bezugstemperatur \( ϑ_\mathrm{a} \) (meist \( ϑ_\mathrm{a} = 20°\mathrm{C} \)) gehört der bekannte Widerstandswert \( R_\mathrm{a} \). Die Temperatur \( ϑ \) führt zum Widerstandswert \( R_\mathrm{ϑ} \) und ist um \( \mathrm{Δ}ϑ \) von der Bezugstemperatur entfernt.
Aus der Darstellung (Bild 18) liest man ab (Strahlensatz):
\( \dfrac{R_{ϑ}}{R_\mathrm{a}} = \dfrac{ϑ-ϑ_0}{ϑ_\mathrm{a} - ϑ_0} = \dfrac{ϑ_\mathrm{a} - ϑ_0 + ϑ-ϑ_\mathrm{a}}{ϑ_\mathrm{a} - ϑ_0} = 1 + \dfrac{1}{ϑ_\mathrm{a} - ϑ_0} \mathrm{Δ}ϑ \) | (60) |
Mit
\( α_\mathrm{a} = \dfrac{1}{ϑ_\mathrm{a} - ϑ_0} \) | (61) |
erhält man
\( R_{ϑ} = R_\mathrm{a} (1 + α_\mathrm{a} \mathrm{Δ} ϑ) \) | (62) |
\( α_\mathrm{a} \) ist der sogenannte lineare Temperaturkoeffizient.
Für \( α_\mathrm{a} = 20°\mathrm{C} \) erhält man z.B. \( α_{20} = 3{,}92 · 10^{-3} \mathrm{K}^{-1} \) für Cu und \( α_{20} = 3{,}70 · 10^{-3} \mathrm{K}^{-1} \) für Al.
Für höhere Temperaturbereiche ist die Linearität des Verlaufs \( R = R(ϑ) \) nicht mehr gegeben.
Die Beschreibung der Kennlinie erfordert nun die Hinzunahme des sogenannten quadratischen Temperaturkoeffizienten \( β_\mathrm{a} \):
\( R_\mathrm{ϑ} = R_\mathrm{a} (1 + α_\mathrm{a}·\mathrm{Δ}ϑ+β_\mathrm{a}·(\mathrm{Δ}ϑ)^2) \) | (63) |
für Cu ist \( β_{20} = 0{,}6 · 10^{-6} \mathrm{K}^{-2} \)
für Al ist \( β_{20} = 1{,}3 · 10^{-6} \mathrm{K}^{-2} \)
für W ist \( β_{20} = 1 · 10^{-6} \mathrm{K}^{-2} \).
