Ohmscher Widerstand

Lineare Strom-Spannungs-Kennlinie, ohmsches Gesetz

Alle technisch wichtigen Leiterwerkstoffe wie Metalle, Metalllegierungen weisen eine lineare Strom-Spannungskennlinie auf.

Lineare U-I-Kennlinie
\( \dfrac{U_1}{I_1} = \dfrac{U_2}{I_2} = \dotsc = \dfrac{U_\mathrm{n}}{I_\mathrm{n}} = \mathrm{konst}. \)
(42)

Diesen Sachverhalt hat der Physiker Georg Simon Ohm ermittelt, und er hat als Messbedingungen gefunden, dass die Umweltbedingungen (Temperatur, Druck) bei der Messreihe gleichbleibend gehalten werden müssen.

Definition des Widerstandes

Der lineare passive Zweipol kann damit durch einen einzigen Parameter, den Widerstand \( R \), charakterisiert werden:

\( R = \dfrac{U_1}{I_1} = \dfrac{U_2}{I_2} = \dfrac{U}{I} \)
(43)

Einheit des Widerstandes

Die Einheit des Widerstandes ist Ohm.

\( [R] = \dfrac{[U]}{[I]} = 1 \dfrac{\mathrm{V}}{\mathrm{A}} = 1\;\mathrm{Ohm} = 1 \, \mathrm{Ω} \)
(44)

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Schaltzeichen

Gleichzeitig kennzeichnet der Begriff Widerstand auch das passive Bau- oder Schaltelement mit dem Schaltzeichen nach dem Bild „Schaltzeichen Widerstand“:

Schaltzeichen Widerstand

\( \mathbf{U} \)-\( \mathbf{I} \)-Kennlinie des ohm'schen Widerstandes

Die \( U \)-\( I \)-Kennlinie des linearen oder sogenannten ohmschen Widerstandes lautet einfach aus Gleichung (43):

\( U = RI \)
(45)

weiter erhält man:

\( I = \dfrac{U}{R} \)
(46)

Das nachfolgende Bild zeigt z.B. Die \( U \)-\( I \)-Kennlinie für den Widerstand \( R = 10 \, \mathrm{kΩ} \).

Kennlinie R=10kΩ

Messung von ohmschen Widerständen

Gemäß Gleichung (43) erfolgt die Widerstandsbestimmung naheliegend aus der gleichzeitigen Messung von Spannung und Strom. Dieses Bild zeigt die beiden Grundschaltungen:

Schaltung aSchaltung b
Messung von Widerständen

Jede dieser Messschaltungen verursacht einen systematischen Messfehler. Diese Fehler können korrigiert werden, wenn die Widerstände \( R_\mathrm{A} \) des Strommessers und \( R_\mathrm{V} \) des Spannungsmessers bekannt sind.

Bei der Anordnung der Messgeräte nach Schaltung a wird der durch den Widerstand \( R_\mathrm{X} \) gehende Strom \( I \) richtig erfasst, die Spannungsmessung ist fehlerhaft und der Spannungsabfall am Amperemeter ist abzuziehen:

\( R_\mathrm{X} = \dfrac{U - R_\mathrm{A} I}{I} = \dfrac{U}{I} - R_\mathrm{A} \)

In der Schaltung b stimmt dann die Spannungsmessung, der Strom wird jedoch um den durch den Spannungsmesser gehenden Teil zu groß angezeigt:

\( R_\mathrm{X} = \dfrac{U}{I - \dfrac{U}{R_\mathrm{V}}} \)

Da der Innenwiderstand des Strommessers \( R_\mathrm{A} \) klein, der des Spannungsmessers \( R_\mathrm{V} \) aber groß sein wird, empfiehlt sich die Schaltung a für große Widerstände \( R_\mathrm{X} >> R_\mathrm{A} \)), die Schaltung b für kleine Widerstände (\( R_\mathrm{X} << R_\mathrm{V} \)).

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Leitwert \( \mathbf{G} \)

Für einige Berechnungsmethoden (z.B. Berechnung von parallel geschalteten Widerständen) erweist sich der reziproke Wert des Widerstandes als zweckmäßiger:

\( G = \dfrac{1}{R} \)
(47)

Einheit des Leitwertes

Die Einheit des Leitwertes ist das Siemens:

\( [G] = 1 \dfrac{\mathrm{A}}{\mathrm{V}} = 1\;\mathrm{Siemens} = 1 \, \mathrm{S} \)
(48)

Benannt ist diese Einheit nach dem deutschen Elektrotechniker Werner von Siemens.

Widerstandsbemessungsgleichung

Unter der Voraussetzung, dass in jedem Materialpunkt des Bauelements die Stromdichte \( \vec{J} \) und die Feldstärke \( \vec{E} \) gleichen Betrag und gleiche Richtung aufweisen, wie z.B. in einem Drahtstück der Länge \( l \), dem konstanten Querschnitt \( A \) über der Länge \( l \) und der Materialeigenschaft \( γ \) gegeben, kann man aus der Widerstandsdefinition (Gleichung (43)) entwickeln:


\( R = \dfrac{U}{I} = \dfrac{\displaystyle\int \limits_l \vec{E} \: \mathrm{d} \vec{l}}{\displaystyle\int \limits_A \vec{J} \: \mathrm{d} \vec{A}} = \dfrac{E·l}{J·A} = \dfrac{E·l}{γ·E·A} = \dfrac{l}{γ·A} \)
(49)

Aus dieser Widerstandsbemessungsgleichung gibt man die Einheit der elektrischen Leitfähigkeit \( γ \) an:

\( [γ] = \dfrac{[l]}{[R][A]} = 1 \, \mathrm{S} \dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{mm}^2} \)
(50)

Spezifischer Widerstand \( \mathbf{ρ} \)

Als Materialkonstante findet man auch den spezifischen Widerstand \( ρ \) mit:

\( ρ = \dfrac{1}{ γ } \)
(51)

Die Widerstandsbemessungsgleichung lautet mit \( ρ \):

\( R = ρ · \dfrac{l}{A} \)
(52)

Die Einheit des spezifischen Widerstandes ist

\( [ρ] = \dfrac{[R][A]}{[\mathrm{l}]} = 1 \, \mathrm{Ω}\dfrac{\mathrm{mm}^2}{\mathrm{m}} \)
(53)