Stern-Dreieck-Transformation

In einigen Netzwerken, z.B. Brückenschaltungen, lassen sich die Widerstandszusammenschaltungen weder auf eine Reihen- noch eine Parallelschaltung zurückführen. Um dennoch einen Ersatzwiderstand berechnen zu können, ist durch geeignete Schaltungstransformation erreichbar, dass im Ergebnis eine Reihen-/Parallel-Schaltung entsteht.

Unter Anwendung der Kirchhoffschen Sätze lassen sich für die zwei dargestellten Zusammenschaltungen, mit den drei äußeren Knoten 1, 2 und 3 äquivalente Widerstandskombinationen berechnen, so dass das Strom-Spannungsverhalten an den drei Knoten erhalten bleibt.

Dreieckschaltung

Sternschaltung





Zur Berechnung der Leitwerte für die resultierende Dreieckschaltung ergeben sich bei der Stern-Dreieck-Transformation die folgenden Zusammenhänge:

 Zur Berechnung der Widerstände für die resultierende Sternschaltung ergeben sich bei der Dreieck-Stern-Transformation die folgenden Zusammenhänge:

\( G_{12} = \dfrac{G_{10} · G_{20}}{G_{10} + G_{20} + G_{30}} \)\( R_{10} = \dfrac{R_{12} · R_{31}}{R_{12} + R_{23} + R_{31}} \)
\( G_{23} = \dfrac{G_{20} · G_{30}}{G_{10} + G_{20} + G_{30}} \)\( R_{20} = \dfrac{R_{23} · R_{12}}{R_{12} + R_{23} + R_{31}} \)
\( G_{31} = \dfrac{G_{30} · G_{10}}{G_{10} + G_{20} + G_{30}} \)\( R_{30} = \dfrac{R_{31} · R_{23}}{R_{12} + R_{23} + R_{31}} \)

Um die Symmetrie der Schaltungstransformation zu verdeutlichen, wurde für die Stern-Dreieck-Transformation mit den Leitwerten gerechnet; wobei gilt:

\( G_{12} = \dfrac{1}{R_{12}} \), \( G_{23} = \dfrac{1}{R_{23}} \) und \( G_{31} = \dfrac{1}{R_{31}} \)

bzw.

\( G_{10} = \dfrac{1}{R_{10}} \), \( G_{20} = \dfrac{1}{R_{20}} \) und \( G_{30} = \dfrac{1}{R_{30}} \)

Bei Benutzung der Widerstände wird daraus:

\( R_{12} = R_{10} + R_{20} + \dfrac{R_{10} · R_{20}}{R_{30}} \)

\( R_{23} = R_{20} + R_{30} + \dfrac{R_{20} · R_{30}}{R_{10}} \)

\( R_{31} = R_{30} + R_{10} + \dfrac{R_{30} · R_{10}}{R_{20}} \)

Aufgabe Schauen Sie sich die Beispielaufgaben an. Dort wird exemplarisch die sinnvolle Umwandlung eines Schaltungsausschnittes von einer Dreieckschaltung in eine Sternschaltung schrittweise demonstriert.