Ersatzwiderstand Dreieck-Stern-Transformation

Berechnen Sie den Ersatzwiderstand \( R_\mathrm{AB} \) der angegebenen Widerstandskombination zwischen den Anschlussklemmen A und B!

Vorbetrachtung

In der vorliegenden Schaltung sind die Widerstände aus Sicht der Klemmen A und B weder in Reihe noch parallel zueinander geschaltet. Wir haben eine Widerstandskombination vor uns, in der mehrere Dreieck- und Sternschaltungen zu erkennen sind.

Eine Möglichkeit zur Berechnung des Ersatzwiderstandes \( R_\mathrm{AB} \) wird hier schrittweise demonstriert.

  • Zuerst erfolgt die Umwandlung der Teilschaltung mit den Widerständen \( R_1 \), \( R_3 \) und \( R_4 \), die eine Dreieckschaltung bilden, in eine äquivalente Sternschaltung (Dreieck ⇨ Stern-Transformation). Dazu werden die Knoten mit 1, 2 und 3 und die Widerstände \( R_1 \) mit \( R_{12} \), \( R_3 \) mit \( R_{23} \) und \( R_4 \) mit \( R_{31} \) (entsprechend der angrenzenden Knoten) gekennzeichnet.



Die zu ermittelnden Widerstände \( R_{10} \), \( R_{20} \) und \( R_{30} \) der Sternschaltung sind in der Schaltung zusätzlich grün eingetragen.
  • Als neue Schaltung nach der Dreieck-Stern-Transformation erhalten wir:
  • Die Widerstandswerte der Sternschaltung lassen sich einfach mit den Transformationsgleichungen aus den Ursprungswerten der Dreieckschaltung berechnen:

\( R_{10} = \dfrac{R_{12} · R_{31}}{R_{12} + R_{23} + R_{31}} = \dfrac{R_1 · R_4}{R_1 + R_3 + R_4} \)
\( R_{20} = \dfrac{R_{12} · R_{23}}{R_{12} + R_{23} + R_{31}} = \dfrac{R_1 · R_3}{R_1 + R_3 + R_4} \)
\( R_{30} = \dfrac{R_{23} · R_{31}}{R_{12} + R_{23} + R_{31}} = \dfrac{R_3 · R_4}{R_1 + R_3 + R_4} \)
  • Die so entstandenen Reihenschaltungen der Widerstände \( R_{20} \) und \( R_2 \) sowie \( R_{30} \) und \( R_5 \) lassen sich zu den beiden Ersatzwiderständen \( R_6 \) und \( R_7 \) zusammenfassen:


\( R_6 = R_{20} + R_2 \)
\( R_7 = R_{30} + R_5 \)
  • Aus den parallelen Widerständen \( R_6 \) und \( R_7 \) berechnen wir den Ersatzwiderstand \( R_8 \):

\( R_8 = \dfrac{R_6 · R_7}{R_6 + R_7} \)
  • Für den gesuchten Widerstand \( R_\mathrm{AB} \) können wir nun schreiben:

\( R_\mathrm{AB} = R_{10} + R_8 \)
Aufgabe Versuchen Sie nun, durch Anwendung der Stern ⇨ Dreieck-Transformation auf analoge Weise den Ersatzwiderstand \( R_\mathrm{AB} \) der Schaltung zu bestimmen.