Stromteiler

Berechnen Sie für das gegebene passive Netzwerk mit Hilfe der Stromteilerregel das Verhältnis der Ströme \( \dfrac{I_4}{I_1} \).

Vorbetrachtung

Wir zeichnen die gegebene Schaltung in eine äquivalente Schaltung um, tragen alle Teilströme ein und stellen die Knotengleichungen auf.


\( \begin{array}{lll} I_1 = & I_2 + & I_3 \\ & & \downarrow \\ & & I_3 = I_4 + I_5 \end{array} \)

Dabei stellen wir fest, dass der Strom \( I_4 \) kein direkter Teilstrom von \( I_1 \) ist. Der Strom \( I_1 \) teilt sich an dem Knoten in die Teilströme \( I_2 \) und \( I_3 \) auf. Der Teilstrom \( I_3 \) wird an einem weiteren Knoten in die Ströme \( I_4 \) und \( I_5 \) aufgeteilt.

Diese zweimalige Stromteilung gilt es nun mit den entsprechenden Stromteilerregeln auszudrücken.

Für die Widerstandszusammenschaltung aus \( R_3 \), \( R_4 \) und \( R_5 \) (in der rot gestrichelten Markierung) berechnen wir den Ersatzwiderstand \( R_{345} \).


\( \red{R_{345}} = R_3 + R_4 \| R_5 = R_3 + \dfrac{R_4 · R_5}{R_4 + R_5} \)

Für die resultierende Schaltung mit dem Ersatzwiderstand \( R_{345} \) können wir das Stromteilerverhältnis nun wie folgt angeben:


\( \dfrac{I_3}{I_1} = \dfrac{R_2 || \red{R_{345}} }{\red{R_{345}}} = \dfrac{R_2}{R_2 + \red{R_{345}}} \)

Betrachten wir den rot markierten Schaltungsausschnitt noch einmal hinsichtlich des Stromverhältnisses von \( I_\mathrm{4} \) zu \( I_\mathrm{3} \)


können wir schreiben:

\( \dfrac{I_4}{I_3} = \dfrac{R_4 \| R_5}{R4} = \dfrac{R_5}{R_5 + R_4} \)

Das gesuchte Stromteilerverhältnis \( \dfrac{I_4}{I_3} \) erhalten wir, indem wir z.B. das Produkt aus beiden Teilergebnissen bilden

\( \begin{array}{l} \dfrac{I_4}{I_1} = \dfrac{I_3}{I_1} · \dfrac{I_4}{I_3} \\ \\ \dfrac{I_4}{I_1} = \dfrac{R_2}{R_2 + R_3 + \dfrac{R_4 · R_5}{R_4 + R_5}} · \dfrac{R_5}{R_5 + R_4} = \dfrac{R_2 · R_5}{(R_2 + R_3) · (R_4 + R_5) + R_4 · R_5} \end{array} \)

Dieses Vorgehen der zweifachen Anwendung des Stromteilers wird auch als "doppelter Stromteiler" bezeichnet. Bei weiterer Aufteilung der Ströme ist das Verfahren entsprechend oft anzuwenden.

Aufgabe Unter Aufgaben finden Sie das entsprechende Übungsbeispiel dazu.