Für die gegebene Schaltung sind alle Zweigströme mit der Maschenstromanalyse zu berechnen.

Vorbetrachtungen

Die Schaltung enthält eine reale Stromquelle [\( I_\mathrm{q4} \) mit \( R_4 \)], die vor der Maschenstromanalyse in eine äquivalente Spannungsquellenersatzschaltung mit \( U_\mathrm{q4} \) und \( R_4 \) umgewandelt wird ( \( U_{\mathrm{q}4} = R_4·I_\mathrm{q4} \), siehe Ersatzquellen):

Die Schaltung hat \(k = 3\) Knoten (2 linear unabhängige) und \( z = 5\) Zweige.
Die Anzahl der unabhängigen Maschen \( m \) ergibt sich dementsprechend zu: \( m = z - ( k - 1 ) = 3 \).

Schritt 1:
In jeden der 5 Zweige wird der jeweilige Zweigstrom \( I_1, I_2, I_4, I_5 \) bzw. \( I_6 \) (Stromrichtung beliebig) eingetragen.

Schritt 2:
Es werden die 3 Maschenumläufe festgelegt und die Maschenströme \( I_\mathrm{M1}\), \( I_\mathrm{M2} \) und \( I_\mathrm{M3}\) eingetragen. Zu beachten ist, dass jeder Zweig von mindestens einem Maschenstrom erfasst sein muss.

Im Ergebnis könnte die Schaltung so aussehen:

Diskutieren Sie weitere Möglichkeiten zur Festlegung der Maschenströme.

Schritt 3:
Wir drücken die 5 Zweigströme durch die 3 Maschenströme \( I_{\mathrm{M}m}\)aus.

Damit erhalten wir für die Zweigstrom - Maschenstrom - Zusammenhänge folgende Beziehungen:

\( I_1 = - I_\mathrm{M1} \)

\( I_2 = I_\mathrm{M1} - I_\mathrm{M2} \)

\( I_4 = -I_\mathrm{M2} \)

\( I_5 = I_\mathrm{M2} - I_\mathrm{M3} \)

\( I_6 = I_\mathrm{M3} \)

Schritt 4:
Für die 3 (durch die Maschenströme festgelegenten) Maschen stellen wir nun die Maschengleichungen mittels des Kirchhoffschen Maschensatzes auf und erhalten zunächst durch Nutzung der Zweigströme:

Masche 1: \( \ -R_1 · I_1 - U_{\mathrm{q}1} + (R_2 + R_3) · I_{2} = 0 \)

Masche 2: \( \ -(R_2 + R_3) · I_{2} - R_4 · I_4 + U_\mathrm{q4} - U_\mathrm{q5} + R_5 · I_5 = 0 \)

Masche 3: \( \ -R_5 · I_5 + U_\mathrm{q5} + R_6 · I_6 = 0 \)

Schritt 5:
Wir ersetzen nun die Zweigströme in den Maschengleichungen aus Schritt 4 durch die im Schritt 3 ermittelten Gleichungen mit den Maschenströmen und erhalten:

Masche 1: \( \ R_1 · I_\mathrm{M1} - U_\mathrm{q1} + (R_2 + R_3) · (I_\mathrm{M1} - I_\mathrm{M2}) = 0 \)

Masche 2: \( \ (R_2 + R_3) · (I_\mathrm{M2} - I_\mathrm{M1}) + R_4 · I_\mathrm{M2} + U_\mathrm{q4} - U_\mathrm{q5} + R_5 · (I_\mathrm{M2} - I_\mathrm{M3}) = 0 \)

Masche 3: \( \ R_5 · (I_\mathrm{M3} - I_\mathrm{M2}) + U_\mathrm{q5} + R_6 · I_\mathrm{M3} = 0 \)

Durch Umstellen und Ordnen wird daraus:

Masche 1: \( \ I_\mathrm{M1} · (R_1 + R_2 + R_3) - I_\mathrm{M2} · (R_2 + R_3) = U_\mathrm{q1} \)

Masche 2: \( \ -I_\mathrm{M1} · (R_2 + R_3) + I_\mathrm{M2} · (R_2 + R_3 + R_4 + R_5) - I_\mathrm{M3} · R_5 = U_\mathrm{q5} - U_\mathrm{q4} \)

Masche 3: \( \ -I_\mathrm{M2} · R_5 + I_\mathrm{M3} · (R_5 + R_6) = -U_{\mathrm{q}5} \)

Alternativ können wir das Gleichungssystem auch in Matrixform angeben:

Schritt 6:
Wir lösen nun dieses Gleichungssystem mit den aus der Mathematik bekannten Verfahren (z.B. Einsetzverfahren) und bestimmen die Maschenströmen \( I_\mathrm{M1} \), \( I_\mathrm{M2} \) und \( I_\mathrm{M3} \).

Schritt 7:
Die gesuchten Zweigströme \( I_1, I_2, I_4, I_5 \) und \( I_6 \) können wir mir den Zweigstrom - Maschenström - Beziehungen aus Schritt 3 und den im Schritt 6 ermittelten Maschenströmen \( I_\mathrm{M1} \), \( I_\mathrm{M2} \) und \( I_\mathrm{M3} \) berechnen.

Schauen Sie sich nun die Übungsaufgaben an und probieren Sie sie selbstständig zu lösen.