Zweipoltheorie
In der gegebenen Schaltung wird der Strom \( I_2 \) und der Spannungsabfall \( U_\mathrm{R3} \)am Widerstand \( R_3 \) gesucht.
Zur Berechnung der gesuchten Größen ist die linke Schaltung mittels Zweipoltheorie so zusammenzufassen, dass
die rechte Ersatzschaltung entsteht.
Der Strom \( I_2 \) und der Spannungsabfall \( U_{R3} \) lassen sich anhand der rechten Ersatzschaltung nach folgenden Beziehungen berechnen:
\( I_2 = \dfrac{U_\mathrm{qers}}{R_\mathrm{ers} + R_3} \)
\( U_{R3} = I_2 · R_3 = U_\mathrm{qers} · \dfrac{R_3}{R_\mathrm{ers} + R_3} \)
Vorbetrachung:
Die beiden gesuchten Größen beziehen sich auf einen passiven Zweipol - den Widerstand \( R_3 \). Daher wird dieser Widerstand aus der Schaltung herausgetrennt und nachfolgend die verbleibende Schaltung schrittweise zu einem aktiven Ersatzzweipol - hier in unserem Beispiel: einer Ersatzspannungquelle - zusammengefasst.
Schritt 1:
Wir ersetzen die beiden parallelen Zweige bestehend aus: \( U_\mathrm{q5} \), \( R_\mathrm{5} \) und \( R_\mathrm{6} \)
(oranger Schaltungsausschnitt rechts)
durch einen Ersatzzweipol bestehend aus: \( U_\mathrm{qers1} \) und \( R_\mathrm{ers1} \)
Die Elemente des Ersatzzweipols berechnen wir folgendermaßen:
\( R_\mathrm{ers1} \) \( = \dfrac{1}{\dfrac{1}{R_5} + \dfrac{1}{R_6}} = \dfrac{R_5 · R_6}{R_5 + R_6} \)
\( {U_{\mathrm{qers}1}} \) \( = \left( \dfrac{U_{\mathrm{q}5}}{R_5} \right) · \) \( {R_\mathrm{ers1}} \)
Schritt 2:
Wir ersetzen die Stromquelle, bestehend aus \( I_\mathrm{q4} \) und \( R_\mathrm{4} \) (grüner Schaltungsausschnitt oben), durch eine äquivalente Spannungsquelle mit \( U_\mathrm{qers2} \) und \( R_\mathrm{ers2} \).
Die Elemente des Ersatzzweipols erhalten wir mit: |
Schritt 3:
Nun fassen wir die in Reihe befindlichen Elemente (roter Schaltungsausschnitt rechts): \( {R_{\mathrm{ers1}}} \) und \( {R_{\mathrm{ers2}}} \) zu \( {R_{\mathrm{ers3}}} \) und unter Berücksichtigung der Richtung der Spannungspfeile \( {U_{\mathrm{qers1}}} \) und \( {U_{\mathrm{qers2}}} \) zu \( {U_{\mathrm{qers3}}} \) zusammen.
Die Elemente des Ersatzzweipols erhalten wir mit: \( \red{R_\mathrm{ers3}} = \) \( R_\mathrm{ers1} \)\( + \green{R_\mathrm{ers2}} \) \( \red{U_{\mathrm{qers}3}} = \) \( U_{\mathrm{qers}1} \)\( - \ \green{U_{\mathrm{qers}2}} \) |
Schritt 4:
Wir ersetzen die beiden parallelen Zweige bestehend aus: [ \( U_\mathrm{q1} \), \( R_\mathrm{1} \)] und [ \( U_\mathrm{qers3} \), \( R_\mathrm{ers3} \) ] (blauer Schaltungsausschnitt rechts) durch einen Ersatzzweipol bestehend aus: \( U_\mathrm{qers4} \) und \( R_\mathrm{ers4} \).
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Die Elemente des Ersatzzweipols berechnen wir mit: \( \blue{R_\mathrm{ers4}} = \dfrac{R_1 · \red{R_\mathrm{ers3}}}{R_1 + \red{R_\mathrm{ers3}}} \) \( \blue{U_{\mathrm{qers4}}} = \left( \dfrac{U_{\mathrm{q}1}}{R_1} + \dfrac{-\red{U_{\mathrm{qers3}}}}{\red{R_\mathrm{ers3}}} \right) · \blue{R_\mathrm{ers4}} \) |
Schritt 5:
Im vorletzten Schritt fassen wir nun die beiden in Reihe befindlichen Widerstände \( R_2 \) und \( R_\mathrm{ers4} \) der rechten Schaltung zu \( R_\mathrm{ers} \) zusammen und für die resultierende Ersatzspannungsquelle schreiben wir \( U_\mathrm{qers} \).
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Für die Elemente des resultierenden Ersatzzweipols erhalten wir: \( \purple{R_\mathrm{ers}} = \blue{R_\mathrm{ers4}} + R_2 \) \( U_\mathrm{qers} = \blue{U_{\mathrm{qers}4}} \) |
Lösung
An die Klemmen des schrittweise ermittelten Ersatzzweipols fügen wir nun wieder den Widerstand \( R_3 \). Im Ergebnis erhalten wir eine Schaltung, die dem Grundstromkreis entspricht.
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Durch Aufstellen der Maschengleichung und umstellen nach \( I_2 \) finden wir die Gleichung zur Berechnung des Stromes durch \( R_3 \) und
können schließlich die Spannung über \( R_3 \) berechnen.
\( I_2 = \dfrac{U_\mathrm{qers}}{ \purple{R_\mathrm{ers}} + R_3} \) \( U_{\mathrm{R}3} = I_2 · R_3 = \purple{U_\mathrm{qers}} · \dfrac{R_3}{ \purple{R_\mathrm{ers}} + R_3} \) |
Schauen Sie sich nun die Übungsaufgaben an und probieren Sie sie selbstständig zu lösen.
