Superpositionsprinzip
In der gegebenen Schaltung wird der Strom \( I_2 \) gesucht.
Schritt 1:
Zuerst berechnen wir den durch die Stromquelle \( I_\mathrm{q4} \) verursachten Stromanteil \( I_{24} \) im Zweig 2 (orange gekennzeichnet) (sprich: der Teilstrom im Zweig 2 hervorgerufen von der mit 4 indizierten Quelle).
Dazu werden zunächst die beiden Spannungsquellen \( U_\mathrm{q1} \) und \( U_\mathrm{q5} \) durch je einen Kurzsschluss ersetzt. Als resultierende Schaltung erhalten wir:
Eine Vereinfachung der obigen Schaltung erreichen wir, in dem wir die Widerstände \( R_2 \) und \( R_3 \) sowie \( R_5 \) und \( R_6 \) zu jeweils einem Ersatzwiderstand \( R_{23} \) bzw. \( R_{56} \) zusammenfassen.
\( R_{23} = R_2 + R_3 \)
\( R_{56} = \dfrac{R_5 · R_6}{R_5 + R_6} \)
Schritt 2:
Die Widerstände \( R_1, R_{23}, R_{56} \) und \( R_4 \) bilden einen doppelten Stromteiler, den man nach dem Umzeichnen der Schaltung gut erkennen kann:
\( I_{24} = \dfrac{R_4 · R_1}{(R_4 + R_{56}) \cdot (R_{23} + R_1) + R_{23} · R_1} · I_{\mathrm{q}4} \)
Schritt 3:
Als nächstes berechnen wir den durch die Spannungsquelle \( U_{\mathrm{q}1} \) verursachten Stromanteil \( I_{21} \).
Die Spannungsquelle \( U_{\mathrm{q}1} \) wird wieder "eingeschaltet", die Spannungsquelle \( U_{\mathrm{q}5} \) bleibt kurz geschlossen und die Stromquelle \( I_{\mathrm{q}4} \) wird unterbrochen.
Zunächst fassen wir wieder die Widerstände zusammen.
\( R_{456} = R_4 + R_{56} = R_4 + \dfrac{R_5 · R_6}{R_5 + R_6} \)
Die Widerstände \( R_{23} \) und \( R_{456} \) bilden einen Stromteiler:
\( \dfrac{I_{21}}{I_1} = \dfrac{R_{456}}{R_{23} + R_{456}} \) mit: \( I_1 = \dfrac{U_{\mathrm{q}1}}{R_1 + \dfrac{R_{23} · R_{456}}{R_{23} + R_{456}}} \)
Setzen wir nun die zweite Gleichung in die erste ein und stellen nach \( I_{21} \) um, erhalten wir:
Schritt 4:
Analog wird der durch die Spannungsquelle \( U_{\mathrm{q}5} \) verursachte Stromanteil \( I_{25} \) berechnet.
Die Spannungsquelle \( U_{\mathrm{q}5} \) wird "eingeschaltet", die Spannungsquelle \( U_{\mathrm{q}1} \) wird kurz geschlossen und die Stromquelle \( I_{\mathrm{q}4} \) bleibt unterbrochen.
Die Widerstände \( R_1, R_{23}, R_4 \) und \( R_6 \) bilden einen doppelten Stromteiler:
\( \dfrac{I_{25}}{I_5} = \dfrac{I_{25}}{I_4} · \dfrac{I_4}{I_5} \)
\( \dfrac{I_{25}}{I_5} = \dfrac{R_1}{R_1 + R_{23}} ·\dfrac{R_6}{R_6 + R_{1234}} \)
mit \( {I_5} = \dfrac{U_{\mathrm{q}5}}{R_{12346} + R_5} \)
und \( R_{1234} = R_4 + \dfrac{R_1 · R_{23}}{R_1 + R_{23}} \) bzw. \( R_{12346} = \dfrac{R_{1234} · R_6}{R_{1234} + R_6} \)
Der gesuchte Strom \( I_2 \) wird als vorzeichenbehaftete Summe der Teilströme berechnet:
\( I_2 = I_{24} + I_{21} - I_{25} \)
