Berechnen Sie für die gegebene Schaltung mit Hilfe der Kirchhoffschen Sätze alle Zweigströme.

Die Anzahl der Knoten dieser Schaltung beträgt \( k = 3 \) und die Anzahl der Zweige \( z = 5 \).
Zur mathematisch vollständigen Beschreibung des Netzwerkes werden also

In die Schaltung tragen wir alle Zweigströme ein und kennzeichnen die Knoten und die Maschen, für die wir die Knoten- und Maschengleichungen aufstellen wollen. Dabei ist sowohl die Stromrichtung in den Zweigen als auch die Richtung der Maschenumläufe beliebig.

Für die gekennzeichneten Knoten und Maschen lauten die

Für das vollständige Gleichungssystem erhalten wir also:

\( -I_1 · R_1 + I_2 · (R_2 + R_3) = U_{\mathrm{q}1} \)

\( -I_2 · (R_2 + R_3) + I_4 · R_4 + I_6 · R_6= 0 \)

\( -I_5 · R_5 + I_6 · R_6 = -U_{\mathrm{q}5} \)

\( I_1 + I_2 + I_4 = I_{\mathrm{q}4} \)

\( I_4 - I_5 - I_6 = I_{\mathrm{q}4} \)

Entsprechend können wir dieses Gleichungssystem aus 5 Gleichungen mit 5 unbekannten Strömen auch in Matrizenform angeben:

\( \begin{bmatrix} { \ -R_1 } & { \ (R_2 + R_3)\ } & 0 & 0 & 0 \\ 0 & { -(R_2 + R_3) \ } & { \ R_4 \ } & 0 & R_6 \\ 0 & 0 & 0 & { -R_5 \ } & R_6 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & { -1 \ } \end{bmatrix} · \begin{bmatrix} { \ I_1 \ } \\ I_2 \\ I_4 \\ I_5 \\ I_6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} U_{\mathrm{q}1} \\ 0 \\ -U_{\mathrm{q}5} \\ I_{\mathrm{q}4} \\ I_{\mathrm{q}4} \end{bmatrix} \)

Zur Lösung dieses Gleichungssystem ist nun eines der aus der Mathematik bekannten Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs-, Additions- oder gaußsches Eliminationsverfahren) anzuwenden.
Alternativ lässt sich an dieser Stelle ein Computeralgebrasystem, z.B. Mathcad, einsetzen.