Spannungsteiler
Berechnen Sie für das gegebene passive Netzwerk mit Hilfe der Spannungsteilerregel das Verhältnis \( \dfrac{U_5}{U} \).
Wir zeichnen die gegebene Schaltung in eine äquivalente Schaltung um, tragen alle Teilspannungen ein und stellen die folgenden Spannungsbeziehungen (Maschengleichungen) auf.
\( \begin{array}{lll} U = & U_1 + & U_2 \\ & & \downarrow \\ & & U_2 = U_3 + U_5 \end{array} \)
Dabei stellen wir fest, dass die Spannung \( U_5 \) keine direkte Teilspannung von \( U \) ist. Die Spannung \( U \) lässt sich in die Teilspannungen \( U_1 \) (über \( R_1 \)) und \( U_2 \) (über der Widerstandszusammenschaltung von \( R_3 \), \( R_4 \) und \( R_5 \)) zerlegen. Die Spannung \( U_2 \) wiederum bildet zwei Teilspannungen: \( U_3 \) (über \( R_3 \)) und \( U_5 \) (über der Parallelschaltung aus \( R_4 \) und \( R_5 \)).
Diese zweimalige Spannungsteilung gilt es nun mit den entsprechenden Spannungsteilerregeln auszudrücken.
Dazu müssen wir zunächst den Spannungsanteil von \( U_\mathrm{2} \) (von \( U \)) und den Spannungsanteil von \( U_\mathrm{5} \)
(von \( U_\mathrm{2} \) ) bestimmen.
Im ersten Schritt berechnen wir zur Vereinachung für die Winderstandszusammenschaltung aus \( R_4 \) und \( R_5 \) (in der rot gestrichelten Markierung) den Ersatzwiderstand \( R_{45} \):
\( \red{R_{45}} = \dfrac{R_4 · R_5}{R_4 + R_5} \)
Die Spannung \( U_\mathrm{2} \) liegt über der Widerstandskombination aus \( R_2 \), \( R_3 \) und \( R_\mathrm{45} \) (in der grün gestrichelten Markierung) an.
Den entsprechenden Ersatzwiderstand \( R_{2345} \) können wir berechnen mit:
\( \green{R_{2345}} = R_2 \| (R_3 + \red{R_{45}}) = \dfrac{R_2 · (R_3 + \red{R_{45}})}{R_2 + R_3 + \red{R_{45}}} \)
Für die resultierende Ersatzschaltung mit dem Widerstand \( R_1 \) und dem Ersatzwiderstand \( R_{2345} \) können wir das Spannungsteilerverhältnis nun wie folgt angeben:
\( \dfrac{U_2}{U} = \dfrac{\green{R_{2345}}}{R_1 + \green{R_{2345}}} \)
Betrachten wir den grün markierten Schaltungsausschnitt noch einmal mit dem Ersatzwiderstand \( R_{45} \), so folgt hier für den Spannungsteiler:
\( \dfrac{U_5}{U_2} = \dfrac{\red{R_{45}}}{R_3 + \red{R_{45}}} \)
Der parallel liegende Widerstand \( R_\mathrm{2} \) hat keinen Einfluss auf die Spannungsaufteilung zwischen \( U_3 \) und \( U_5 \).
Das gesuchte Spannungsteilerverhältnis \( \dfrac{U_5}{U} \) erhalten wir, indem wir z.B. das Produkt aus beiden Teilergebnissen bilden.
\( \begin{array}{l} \dfrac{U_5}{U} = \dfrac{U_2}{U} · \dfrac{U_5}{U_2} \\ \\ \dfrac{U_5}{U} = \dfrac{\green{R_{2345}}}{R_1 + \green{R_{2345}}} · \dfrac{\red{R_{45}}}{R_3 + \red{R_{45}}} \end{array} \)Dieses Vorgehen der zweifachen Anwendung des Spannungsteilers wird auch als "doppelter Spannungsteiler" bezeichnet. Bei weiterer Aufteilung der Spannungen ist diese Methode entsprechend oft anzuwenden.
Unter Aufgaben finden Sie das entsprechende
Übungsbeispiel dazu.
