Serielle Elemente
Werden die Bauelemente einer Schaltung alle hintereinander - also in Reihe - geschaltet, so dass durch sie derselbe Strom fließt (Siehe Schaltung), sprechen wir von seriellen Elementen oder einer Reihenschaltung.
Bei einer solchen Reihenschaltung lässt sich die Reihenfolge der seriellen Elemente beliebig vertauschen. Auf diese Weise lassen sich äquivalente Darstellungsformen, wie für die folgende Schaltung, angeben:
Die Kirchhoffsche Maschengleichung für diese Schaltung lautet: | Die Leistungsbilanz für die Schaltung führt auf: |
|
\( 0 = U_{\mathrm{R}1} + U_{\mathrm{R}2} + U_{\mathrm{R}3} - U_{\mathrm{q}3} + U_{\mathrm{q}2} - U_{\mathrm{q}1} \)
mit \( U_{\mathrm{R}1} = R_1·I \) usw. führt dies auf: |
\( U_{\mathrm{q}1} · I - U_{\mathrm{q}2} · I + U_{\mathrm{q}3} · I = R_1 · I^2 + R_2 · I^2 + R_3 · I^2 \)
Nach Vereinfachen und Umstellen erhalten wir: |
| \( 0 = R_1·I + R_2·I + R_3·I - U_{\mathrm{q}3} + U_{\mathrm{q}2} - U_{\mathrm{q}1} \) | |
Beide Ansätze führen auf den gleichen Zusammenhang:
Der Strom \( I \) durch die Masche lässt sich ermitteln, indem wir die Summe der Quellspannungen (unter Berücksichtigung der
Spannungsrichtung) durch die Summe der Widerstände teilen.
Wir wollen dies durch schrittweise Vereinfachung des Netzwerkes veranschaulichen.
Zusammenfassen der in Reihe geschalteten Elemente dieser Schaltung
| 1. | passive Elemente |
Für den Strom \( I \), der mit gleicher Stärke durch die drei Widerstände \( R_1, R_2 \) und \( R_3 \) fließt, gilt: \( I = \dfrac{U_{\mathrm{R}1}}{R_1} = \dfrac{U_{\mathrm{R}2}}{R_2} = \dfrac{U_{\mathrm{R}3}}{R_3} \)Für die drei Teilspannungen der Widerstände können wir damit angeben: \( U_{\mathrm{R}1} = I · R_1, \ \ U_{\mathrm{R}2} = I · R_2 \) und \( U_{\mathrm{R}3} = I · R_3 \).Diese Teilspannungen fassen wir nun mittels des Maschensatzes zu einer Spannung \( U_R \) zusammen \( U_\mathrm{R} = U_{\mathrm{R}1} + U_{\mathrm{R}2} + U_{\mathrm{R}3} \)Setzen wir nun die vorherigen Gleichungen in die letzte Gleichung ein, erhalten wir \( I · R = I · R_1 + I · R_2 + I · R_3 \)bzw. nach Kürzen des Stromes \( I \) \( R = R_1 + R_2 + R_3 \) Ein äquivalenter Ersatzwiderstand \( R \) (dies ist der Widerstand, durch den bei gleicher Spannung der gleiche Strom fließt) muss also den Wert haben, der sich aus der
Summe der drei Einzelwiderstände ergibt. | |
| 2. | aktive Elemente |
Die Quellspannungen der drei Spannungsquellen können wir unter Berücksichtigung der Richtung der Spannungspfeile folgendermaßen zusammenfassen: \( U_\mathrm{q} = U_{\mathrm{q}1} - U_{\mathrm{q}2} + U_{\mathrm{q}3} \) |
Äquivalente Darstellung der vereinfachten Schaltung
Die Kirchhoffsche Maschengleichung für diese Schaltung lautet:
\( -U_\mathrm{q} + R · I = 0 \)Daraus erhalten wir für den Strom:
\( I = \dfrac{U_\mathrm{q}}{R} \)Setzen wir nun die eingangs ermittelten Ersatzgrößen für \( U_{\mathrm{q}} \) und \( R \) ein, wird daraus:
\( I = \dfrac{U_\mathrm{q}}{R} = \dfrac{U_{\mathrm{q}1} - U_{\mathrm{q}2} + U_{\mathrm{q}3}}{R_1 + R_2 + R_3} \)
Zusammenfassung von \( ν \) in Reihe geschalteten Elementen| 1. | passive Elemente | |
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\( R_\mathrm{ers} = \displaystyle\sum\limits_{ν = 1}^{n} R_{ν} \) | Der Ersatz- bzw. Gesamtwiderstand einer Reihenschaltung von \( ν \) Widerständen ist immer größer als der größte Teilwiderstand. | |
| 2. | aktive Elemente | |
| \( U_\mathrm{qers} = \displaystyle\sum\limits_{\nu = 1}^{n} U_{\mathrm{q} ν \, \mathrm{vzb}} \) (vzb = vorzeichenbehaftet) |
Nicht immer sind in komplexen Schaltungen für den Laien die Anordnung der Bauelemente sofort zu erkennen, deshalb haben wir
hier ein paar einfache Übungsaufgaben vorbereitet.
