Beispiele > Wellenausbreitung auf verlustlosen Leitungen

Beispiel 3: Anschalten einer Wechselspannung an eine verlustlose kurzgeschlossene Leitung

In eine verlustlose am Ende kurzgeschlossene Leitung mit den Parametern ZW, v, l wird eine sinusförmige Quellspannung mit eingespeist.
Parameter der Schaltung:
Man berechne die Wellenlänge λ und gebe die Spannungs- und Stromverteilung u(x,t), i(x,t) an für die Fälle:

  1. reflexionsfreie Einspeisung,
  2. Ri = 3 ZW

Lösung Beispiel 3:
Die Wellenlänge λ der zum Leitungsende laufenden bzw. dort reflektierten Wellen berechnet sich aus
Die Zeitfunktion der Quellspannung lautet:
Die Signallaufzeit ist
1. Für reflexionsfreie Einspeisung und Kurzschluss am Leitungsende ist
r0 = 0, rl = - 1
Die Spannungs- und Stromverteilung lautet:
Nach t 2tL folgt für alle Punkte der Leitung:
Mit dem Additionstheorem
erhält man für die Spannungs- und Stromverteilung:
Das ist eine stehende Spannungswelle mit einem Spannungsknoten am Leitungsende und eine stehende Stromwelle mit einem Strombauch am Leitungsende.
2. Für Vielfachreflexion mit sind zuerst Hauptwelle und Echowelle am Ende aller Zeiten (t → ∞) zu berechnen.
Mit
erhält man:
Die Zusammenfassung erfolgt im komplexen Zeigerbereich mit Anwendung der Summenformel der geometrischen Reihe
Die Werte UH, UE und Nullphasenwinkel φuH, φuE werden mit den bekannten Methoden der komplexen Rechnung bestimmt. Man erkennt die Zusammenhänge:
Die Zeitfunktionen lauten mit rl = -1:
Für die Stromhauptwelle und Stromechowelle folgt:
Spannungs- und Stromverteilung am Ende aller Zeiten folgen zu
Wie bereits unter 1. gezeigt, sind diese Verteilungen stehende Wellen:
Hinweis zu den Punkten 1.-2.:
Die Zahlenwerte sollten ausgerechnet werden und können mit den Ergebnissen und Darstellungen im Mathcad-Arbeitsblatt „MAB_Leitungen_Beispiel 3“ sowie mit den Ergebnissen und Darstellungen in der Experimentierumgebung „Anschalten einer Wechselspannung“ verglichen werden.