Ersatzspannungsquelle
Geben Sie das Spannungsquellenersatzschaltbild für die gegebene Zusammenschaltung aktiver und passiver Elemente zwischen den Klemmen A und B an. Bestimmen Sie \( U_\mathrm{qers} \) und \( R_\mathrm{iers} \) der Spannungsquellenersatzschaltung.
Die Ersatzschaltung einer realen Spannungsquelle ist realisierbar als Reihenschaltung aus einer idealen Spannungsquelle mit der Quellspannung \( U_\mathrm{q} \) und einem Innenwiderstand \( R_\mathrm{i} \).
Äquivalente Spannungsquellenersatzschaltungen zwischen den Klemmen A und B können sein:
| Spannungsquellenersatzschaltung 1: | Spannungsquellenersatzschaltung 2: |
Zur Bestimmung des Innenwiderstandes \( R_\mathrm{iers} \) der Spannungsquellenersatzschaltung sind die Spannungsquellen \( U_\mathrm{q1} \) und \( U_\mathrm{q3} \) jeweils durch einen Kurzschluss zu ersetzen. Als verbleibende Schaltung erkennen wir eine Parallelschaltung aus drei Widerständen:
Den Gesamtleitwert ermitteln wir aus der Summe der Teilleitwerte
\( G_\mathrm{iers} = G_\mathrm{iers1} + G_2 + G_\mathrm{iers3} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \dfrac{1}{R_3} \)und erhalten damit für den Innenwiderstand
\( R_\mathrm{iers} = \dfrac{1}{G_\mathrm{iers}} \).Um die Äquivalenz an den Klemmen A und B zwischen Ausgangsschaltung und Ersatzzweipol zu gewährleisten, muss gelten:
-
Die Leerlaufspannung zwischen den Klemmen A und B der Ausgangsschaltung \( U_\mathrm{L\ AB} \) muss gleich der
Leerlaufspannung \( U_\mathrm{Lers} \) und somit der Quellspannung \( U_\mathrm{qers} \) des Ersatzzweipols sein:
\( U_\mathrm{L\ AB} = U_\mathrm{Lers} = U_\mathrm{qers} \)
-
Der Kurzschlussstrom zwischen den Klemmen A und B der Ausgangsschaltung \( I_\mathrm{K\ AB} \) muss gleich dem
Kurzschlussstrom \( I_\mathrm{Kers} \) des Ersatzzweipols sein.:
\( I_\mathrm{K\ AB} = I_\mathrm{Kers} \)
-
Den Zusammenhang zwischen der Quellspannung \(U_\mathrm{q} \), dem Kurzschlussstrom \(I_\mathrm{K} \) und dem Innenwiderstand
\(R_\mathrm{i} \) einer linearen realen Spannungsquelle kennen wir aus der Betrachtung des Grundstromkreises und er lautet:
\( U_\mathrm{q} = I_\mathrm{K}·R_\mathrm{i} \)
bzw. für unseren konkreten Fall:\( U_\mathrm{qers} = I_\mathrm{Kers}·R_\mathrm{iers} \)
Betrachten wir nun unsere gegebene Schaltung bei kurzgeschlossenen Klemmen A und B, erhalten wir für den Kurzschlussstrom
\( I_\mathrm{K\ AB} \):
\( I_\mathrm{K\ AB} = -\dfrac{U_\mathrm{q1}}{R_1} + \dfrac{U_\mathrm{q3}}{R_3} \)
Unter Berücksichtigung der Richtungspfeile der Spannungsquellenersatzschaltungen und den daraus resultierenden Kurzschlussströmen \( I_\mathrm{Kers} \) folgt nun mit:
| \( U_\mathrm{qers} = I_\mathrm{Kers} · R_\mathrm{iers} \) | und | \( R_\mathrm{iers} = R_1 || R_2 || R_3 \) | für die |
| Spannungsquellenersatzschaltung 1: | Spannungsquellenersatzschaltung 2: |
\( I_\mathrm{Kers} = I_\mathrm{KAB} \) \( U_\mathrm{qers} = \left(-\dfrac{U_{\mathrm{q}1}}{R_1} + \dfrac{U_{\mathrm{q}3}}{R_3}\right) · R_\mathrm{iers} \) | \( I_\mathrm{Kers} = - I_\mathrm{KAB} \) \( U_\mathrm{qers} = \left(\dfrac{U_{\mathrm{q}1}}{R_1} - \dfrac{U_{\mathrm{q}3}}{R_3}\right) · R_\mathrm{iers} \) |
Versuchen Sie nun selbstständig eine Aufgabe zu lösen.
