Elektrische Stromdichte

Betrag und Richtung der Stromdichte \( \vec{J} \)

Die Stromdichte ermöglicht die Beschreibung der Stromverteilung über die Stromdurchtrittsfläche. Die Stromdichte hat Betrag und Richtung und charakterisiert eine Punkteigenschaft des Raumes. In der nachfolgenden Abbildung steht die Stromdurchtrittsfläche senkrecht zur Bewegungsrichtung der Ladungsträger.

Stromdichte

Man zerlegt die Stromdurchtrittsfläche in \( m \) Teilflächen und ermittelt die durch die Teilflächen tretenden Teilströme. Die Teilfläche \( \mathrm{Δ}A_{k⊥} \) wird durch ihre Flächennormale \( \mathrm{Δ}\vec{A}_{k⊥} \) repräsentiert. Der Betrag der Stromdichte \( J_k \) folgt im Mittel aus:

\( \left| \vec{J}_k \right| = J_k = \dfrac {\mathrm{Δ}I_k} {\mathrm{Δ}A_{k⊥}} \)
(8)

Die Richtung der Stromdichte stimmt mit der Bewegungsrichtung der positiven Ladungsträger überein. Schließt die Flächennormale mit der Bewegungsrichtung den Winkel \( \mathrm{α} \) ein,

Stromdichte

lautet nun der Zusammenhang:

\( \mathrm{Δ}I_k = J_k \mathrm{Δ}A_{k⊥} = J_k \mathrm{Δ}A_k \cos \mathrm{α} \)
(9)

Unter Nutzung des Skalarproduktes kann geschrieben werden:

\( \mathrm{Δ}I_k = \vec{J}_k \mathrm{Δ}A_k \)
(10)

und weiter:

\( I = \displaystyle\sum \limits_{k=1}^\mathrm{m} \mathrm{Δ}I_k = \displaystyle\sum \limits_{k=1}^\mathrm{m} \vec{J}_k \mathrm{Δ}\vec{A}_k \)
(11)

Die Stromdichte \( J \) in einem Punkt der Stromdurchtrittsfläche erhält man durch den Differentialquotienten (vgl. Gleichung (8))

\( J = \dfrac {\mathrm{d}I} {\mathrm{d} A_{⊥}} \)
(12)

und weiter wird aus Gleichung (11) die Summe zum Integral:

\( I = \displaystyle\int \limits_{\mathrm{A}} \vec{J} \mathrm{d} \vec{A} \)
(13)

Ist die Stromdichte \( J \) an jedem Punkt der Fläche gleich, so gilt:

\( J = \dfrac {I} {A_{⊥}} \)
(14)

Einheit der Stromdichte

Die Einheit der Stromdichte folgt aus Gleichung (14):

\( [J] = \dfrac {[I]} {[A]} = 1 \dfrac {\mathrm{A}} {\mathrm{m}^2} \)
(15)

Üblich ist die Angabe der Stromdichte in der Untereinheit:

\( [J] = 1 \dfrac {\mathrm{A}} {\mathrm{mm}^2} \)
(16)