Stromdichte, Strom

Beispiel 03

Ein Elektronenstrahl vom Kreisquerschnitt \( A \) führe den Strom \( I \). Die Stromdichte (~Trägerdichte) sinkt vom Kern des Elektronenstrahls her von einem Wert \( J_0 \) im Zentrum quadratisch mit \( r \) ab. Die Stromdichte am Außenrand ist \( J_\mathrm{a} \).



\( J_0 = 1 \, \mathrm{A/mm^2} \),
\( J_\mathrm{a} = 0{,}5 \, \mathrm{A/mm^2} \)
\( r_\mathrm{a} = 10 \, \mathrm{µm} \) ( =Strahlradius )

a) Wie lautet die analytische Beziehung für die Stromdichte als Funktion des Radius \( J(r) \)?
b) Welcher Strom \( I \) wird insgesamt durch den Elektronenstrahl geführt?
c) Wie groß wäre der Strom \( I \) falls über dem Querschnitt konstante Stromdichte gleich \( J_0 \) herrschen würde?

Lösung zu a)

Ansatz:

\( J(r) = J_0 - a·r^2 \)

Bestimmung der Konstanten \( a \)

\( \begin{array}{rll} J(r = r_\mathrm{a}) & \; = \; & J_\mathrm{a} = J_0 - a·r_\mathrm{a}^2 \\ a & \; = \; & \dfrac{J_0 - J_\mathrm{a}}{r_\mathrm{a}^2} \end{array} \)

Daraus folgt:

\( J(r) = J_0 - \left( \dfrac{J_0 - J_\mathrm{a}}{r_\mathrm{a}^2} \right) r^2 \)

Lösung zu b)

Mit Gleichung (13)

\( I = \displaystyle\int \limits_{\mathrm{A}} \vec{J} \mathrm{d} \vec{A} \)

folgt für \( \vec{J} || \mathrm{d}\vec{A} \)

\( I = \displaystyle\int \limits_{\mathrm{A}} J \, \mathrm{d}A \)

Weil \( J \) nur \( J(r) \), kann gewählt werden:

\( \begin{array}{rll} \mathrm{d}A & \; = \; & 2πr \, \mathrm{d}r \\ I & \; = \; & \displaystyle\int \limits_0^{r_\mathrm{a}} J(r) 2πr \, \mathrm{d}r \\ & \; = \; & \displaystyle\int \limits_0^{r_\mathrm{a}} \left( J_0 - \dfrac{J_0 - J_\mathrm{a}}{r_\mathrm{a}^2} r^2 \right) 2πr \, \mathrm{d}r \\ & \; = \; & 2πJ_0 \dfrac{r_\mathrm{a}^2}{2} - 2π \dfrac{J_0 - J_\mathrm{a}}{r_\mathrm{a}^2} \dfrac{r_\mathrm{a}^4}{4} = πr_\mathrm{a}^2 \left( \dfrac{J_0 - J_\mathrm{a}}{2} \right) \\ I & \; = \; & 0{,}236 \, \mathrm{mA} \end{array} \)

Lösung zu c)

\( J = J_0 = \mathrm{const.} \) über \( A \)

\( I = J_0 A \)
\( I = πr_\mathrm{a}^{2}J_0 \)
\( I = 0{,}314 \, \mathrm{mA} \)