Elektrische Stromdichte
Betrag und Richtung der Stromdichte \( \vec{J} \)
Die Stromdichte \( \vec{J} \) ermöglicht die Beschreibung der Stromverteilung über der Stromdurchtrittsfläche. Die Stromdichte ist eine vektorielle Größe und wird durch ihren Betrag und die Richtung angegeben. Sie charakterisiert eine Punkteigenschaft des Raumes. In der folgenden Abbildung steht die betrachtete Stromdurchtrittsfläche \( A_{⊥} \) senkrecht zur Bewegungsrichtung der Ladungsträger.
- Abbildung 1: Stromdichte (Ladungsträgerbewegung senkrecht zur Stromdurchtrittsfläche)
Man zerlegt die Stromdurchtrittsfläche in Teilflächen und ermittelt die durch die Teilflächen tretenden Teilströme \( \mathrm{Δ}I \). Die gekennzeichnete Teilfläche \( \mathrm{Δ}A_{⊥} \) wird durch ihre Flächennormale \( \mathrm{Δ}\vec{A}_{⊥} \) repräsentiert. Der Betrag der Stromdichte dieser Teilfläche \( J_{Δ} \) folgt im Mittel aus:
\( \left| \vec{J}_{Δ} \right| = J_{Δ} = \dfrac {\mathrm{Δ}I} {\mathrm{Δ}A_{⊥}} \) | (8) |
Die Richtung der Stromdichte stimmt mit der Bewegungsrichtung der positiven Ladungsträger überein.
Schließt die Flächennormale mit der Bewegungsrichtung der Ladungsträger einen Winkel \( \mathrm{α} \) ein,
- Abbildung 2: Stromdichte (Flächennormale und Ladungsträger-Bewegungsrichtung mit Winkel \( \mathrm{α} \))
lautet nun der Zusammenhang für einen Teilstrom durch eine Teilfläche:
\( \mathrm{Δ}I = J_{Δ} · \mathrm{Δ}A_{⊥} = J_{Δ} · \mathrm{Δ}A · \cos \mathrm{α} \) | (9) |
Unter Nutzung des Skalarproduktes kann geschrieben werden:
\( \mathrm{Δ}I = \vec{J}_{Δ} · \mathrm{Δ}\vec{A} \) . | (10) |
Für die resultierende Gesamtfläche folgt für den Gesamtstrom:
\( I = \displaystyle\sum \limits_{k=1}^\mathrm{m} \mathrm{Δ}I_k = \displaystyle\sum \limits_{k=1}^\mathrm{m} \vec{J}_k · \mathrm{Δ}\vec{A}_k \) | (11) |
Dabei ist \( m \( die Anzahl der Teilflächen, in die die Gesamtfläche zerlegt wurde.
Die Stromdichte \( J \) in einem Punkt der Stromdurchtrittsfläche erhält ist mit dem Differentialquotienten (Siehe Gleichung (8)) ermittelbar
\( J = \dfrac {\mathrm{d}I} {\mathrm{d} A_{⊥}} \) | (12) |
und weiter wird aus Gleichung (11) nach Überführung der Summe zum Integral:
\( I = \displaystyle\int \limits_{\mathrm{A}} \vec{J} \mathrm{d} \vec{A} \) | (13) |
Ist die Stromdichte \( J \) an jedem Punkt der Fläche gleich, so gilt:
\( J = \dfrac {I} {A} \) | (14) |
Einheit der Stromdichte
Die Einheit der Stromdichte folgt aus Gleichung (14):
\( [J] = \dfrac {[I]} {[A]} = 1 \dfrac {\mathrm{A}} {\mathrm{m}^2} \) | (15) |
Üblich ist die Angabe der Stromdichte auch in der Einheit:
\( [J] = 1 \dfrac {\mathrm{A}} {\mathrm{mm}^2} \) | (16) |
