Skalarprodukt

Wie wird das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnet?

Elektrotechnisches Problem

Aufgabe 2.3b) aus dem Lernprogramm „Grundstromkreis“


Notwendige mathematische Grundlagen:

Es gibt zwei Arten der multiplikativen Verknüpfung von zwei Vektoren \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \)

a)das Skalarprodukt \( \vec{a} · \vec{b} \) [gelesen: Vektor \( a \) punkt Vektor \( b \)] (auch Punktprodukt genannt):
Das Ergebnis ist ein Skalar (Zahl).
b)das Vektorprodukt \( \vec{a} × \vec{b} \) [gelesen: Vektor \( a \) kreuz Vektor \( b \)] (auch Kreuzprodukt genannt):
Das Ergebnis ist ein Vektor.

Sollen mehr als zwei Vektoren multiplikativ verknüpft werden, so erhält man zusammengesetzte Produkte, wie z.B. das Spatprodukt \( (\vec{a}×\vec{b})·\vec{c} \). Das Ergebnis nach vektorieller Multiplikation \( \vec{a}×\vec{b} \) und anschließender skalarer Multiplikation mit dem Vektor \( \vec{c} \) ist ein Skalar (Zahl).


  • Definition des Skalarproduktes zweier Vektoren \( \vec{\mathbf{a}} \) und \( \vec{\mathbf{b}} \):

\( \vec{a}·\vec{b} = |\vec{a}|·|\vec{b}|·\mathrm{cos} \ φ \)
[gelesen: Betrag von Vektor \( a \) mal Betrag von Vektor \( b \) mal Cosinus des Winkels zwischen \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \)]

  • Physikalische Deutung:

Ein Körper der Masse \( m \) werde unter dem Einfluss einer konstanten Kraft \( \vec{F} \) um die Strecke \( \vec{s} \) bewegt. Damit gilt für die geleistete Arbeit \( W \) entlang des Weges \( \vec{s} \):

\( W = |\vec{F}|·|\vec{s}|·\mathrm{cos} φ \)

  1. Wirkt diese Kraft \( \vec{F} \) in Richtung des Weges \( \vec{s} \), so wird die Arbeit \( W=|\vec{F}|·|\vec{s}| \) verrichtet.

  2. Wirkt die Kraft \( \vec{F} \) unter einem Winkel \( φ \) gegenüber dem Weg, so wird anstelle von \( \vec{F} \) nur \( \vec{F}_\mathrm{T} = \vec{F}·\mathrm{cos} \ φ \) wirksam.

Siehe auch:
"Multiplikation von zwei Vektoren" (anschauliche Darstellung aus Mathevorkurs der Physik)


zum elektrotechnischen Problem:

Der eine Querschnittsfläche durchsetzende Strom ist anhand der Gleichung \( I = \displaystyle\int \limits_{\mathrm{A}} \vec{J} \mathrm{d} \vec{A} \) zu ermitteln.
Das Skalarprodukt wird hier aus dem Stromdichtevektor \( \vec{J} \) und dem Vektor des Flächenelementes \( \mathrm{d} \vec{A} \) gebildet:

\( \vec{J}· \mathrm{d} \vec{A} = |\vec{J}|·| \mathrm{d} \vec{A}|·\mathrm{cos} \ φ \)
  • In der Abbildung erkennen wir, dass der Stromdichtevektor \( \vec{J} \) senkrecht auf der betrachteten Kreisquerschnittsfläche des Elektronenstrahls steht.
  • Das zur sinnvollen Durchführung der Integration gewählte Flächenelement \( \mathrm{d} \vec{A} \) ist hier ein Kreisring. Wie aus der linearen Algebra bekannt, steht der Flächenvektor stets senkrecht auf der Fläche.

Beide Vektoren zeigen in die gleiche Richtung - sind parallel zueinander! Der von beiden Vektoren eingeschlossene Winkel \( φ = 0° \) und wir erhalten für den \( \mathrm{cos} \ φ = 1\).

Für das Skalarprodukt können wir nun schreiben:

\( \vec{J}· \mathrm{d} \vec{A} = |\vec{J}|·| \mathrm{d} \vec{A}| = J·\mathrm{d}A \)


weitere elektrotechnische Anwendungsfälle, die die Berechnung des Skalarproduktes erfordern, sind u.a.:

  • Berechnung der elektrischen Spannung entlang einer Wegstrecke im elektrischen Feld:
    \( U = \displaystyle\int \limits_{\mathrm{l}} \vec{E} · \mathrm{d} \vec{l} \)
  • Berechnung des Verschiebungsstromes im elektrostatischen Feld:
    \( \Psi = \displaystyle\int \limits_{\mathrm{A}} \vec{D} · \mathrm{d} \vec{A} \)
  • Berechnung des magnetischen Flusses im magnetischen Feld:
    \( \Phi = \displaystyle\int \limits_{\mathrm{A}} \vec{B} · \mathrm{d} \vec{A} \)