Skalarprodukt

Wie wird das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnet?

Elektrotechnisches Problem

Betrachtet wird ein Elektronenstrahl über dessen kreisförmiger Querschnittfläche sich die Stromdichte konzentrisch ändert.
Der eine Querschnittsfläche durchsetzende Strom ist anhand der Gleichung \( I = \displaystyle\int \limits_{\mathrm{A}} \vec{J}·\mathrm{d} \vec{A} \) zu ermitteln.
Das Skalarprodukt wird hier aus dem Vektor der Stromdichte \( \vec{J} \) und dem Vektor des Flächenelementes \( \mathrm{d} \vec{A} \) gebildet:

\( \vec{J}· \mathrm{d} \vec{A} = |\vec{J}|·| \mathrm{d} \vec{A}|·\mathrm{cos} \ φ \),

wobei \( φ \) der eingeschlossene Winkel zwischen beiden Vektoren ist.

  • In der Abbildung erkennen wir, dass der Stromdichtevektor \( \vec{J} \) senkrecht auf der betrachteten Kreisquerschnittsfläche des Elektronenstrahls steht.

  • Das zur sinnvollen Durchführung der Integration gewählte Flächenelement \( \mathrm{d} \vec{A} \) ist hier ein Kreisring.
    Wie aus der linearen Algebra bekannt, steht der Flächenvektor stets senkrecht auf der Fläche.

Beide Vektoren zeigen in die gleiche Richtung - sind parallel zueinander!
Der von beiden Vektoren eingeschlossene Winkel ist \( φ = 0° \) und damit wir erhalten für den \( \mathrm{cos} \ φ = 1\).

Für das Skalarprodukt können wir nun schreiben:

\( \vec{J}· \mathrm{d} \vec{A} = |\vec{J}|·| \mathrm{d} \vec{A}| = J·\mathrm{d}A \)


Aufgabe 2.3b) aus dem Lernprogramm „Grundstromkreis“

Notwendige mathematische Grundlagen:

Es gibt zwei Arten der multiplikativen Verknüpfung von zwei Vektoren \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \)

a)das Skalarprodukt \( \vec{a} · \vec{b} \) [gelesen: Vektor \( a \) punkt Vektor \( b \)] (auch Punktprodukt genannt):
Das Ergebnis ist ein Skalar (Zahl).
b)das Vektorprodukt \( \vec{a} × \vec{b} \) [gelesen: Vektor \( a \) kreuz Vektor \( b \)] (auch Kreuzprodukt genannt):
Das Ergebnis ist ein Vektor.

Sollen mehr als zwei Vektoren multiplikativ verknüpft werden, so erhält man zusammengesetzte Produkte, wie z.B. das Spatprodukt \( (\vec{a}×\vec{b})·\vec{c} \).
Das Ergebnis nach vektorieller Multiplikation \( \vec{a}×\vec{b} \) und anschließender skalarer Multiplikation mit dem Vektor \( \vec{c} \) ist ein Skalar (Zahl).


  • Definition des Skalarproduktes zweier Vektoren \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \):

\( \vec{a}·\vec{b} = |\vec{a}|·|\vec{b}|·\mathrm{cos}( \ φ) \)
[gelesen: Betrag von Vektor \( a \) mal Betrag von Vektor \( b \) mal Cosinus des Winkels zwischen \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \)]

  • Physikalische Deutung:

Ein Körper der Masse \( m \) werde unter dem Einfluss einer konstanten Kraft \( \vec{F} \) um die Strecke \( \vec{s} \) bewegt. Damit gilt für die geleistete Arbeit \( W \) entlang des Weges \( \vec{s} \):

\( W = |\vec{F}|·|\vec{s}|·\mathrm{cos} (φ) \)

  1. Wirkt diese Kraft \( \vec{F} \) in Richtung des Weges \( \vec{s} \), so wird die Arbeit \( W=|\vec{F}|·|\vec{s}| \) verrichtet.

  2. Wirkt die Kraft \( \vec{F} \) unter einem Winkel \( φ \) gegenüber dem Weg, so wird anstelle von \( \vec{F} \) nur \( \vec{F}_\mathrm{T} = \vec{F}·\mathrm{cos} \ (φ) \) wirksam.

weitere elektrotechnische Anwendungsfälle, die die Berechnung des Skalarproduktes erfordern, sind zum Beispiel:

  • die Berechnung der elektrischen Spannung entlang einer Wegstrecke im elektrischen Feld:

    \( U = \displaystyle\int \limits_{\mathrm{l}} \vec{E} · \mathrm{d} \vec{l} \)
  • die Berechnung des Verschiebungsstromes im elektrostatischen Feld:

    \( \Psi _\mathrm{d} = \displaystyle\int \limits_{\mathrm{A}} \vec{D} · \mathrm{d} \vec{A} \)
  • die Berechnung des magnetischen Flusses im magnetischen Feld:

    \( \Phi = \displaystyle\int \limits_{\mathrm{A}} \vec{B} · \mathrm{d} \vec{A} \)