Nullstellengleichungen

Wie bestimmt man nährungsweise die Nullstellen von nichtlinearen Funktionen?

Notwendige mathematische Grundlagen:

Bei der näherungsweisen Berechnung des Arbeitspunktes bei Diodenkennlinien setzt man beispielsweise die Spannungsgleichungen (Funktionsgleichungen) von Quelle und Diode gleich, um die Klemmenspannung \( U \) auszurechnen. Analog verfährt man mit den Stromgleichungen.
Das führt auf sogenannte „Nullstellengleichungen“ \( f(x) = 0 \), wobei die Funktion \( f(x) = 0 \) aus verschiedenen Funktionstypen besteht und sich damit die Nullstellen nicht elementar bestimmen lassen. Durch die Anwendung der Differentialrechnung kann man die Nullstellen mittels „NEWTON-Verfahren“ oder anderer Näherungsverfahren mit hinreichender Genauigkeit bestimmen. Auch die Anwendung des Computeralgebrasystems Mathcad liefert sehr schell brauchbare Lösungen.



Die Anwendung des NEWTON-Verfahrens bei elektrotechnischen Sachverhalten soll am Beispiel einer Halbleiterdiode, die an einer linearen Spannungsquelle anliegt (vgl. nebenstehende Grafik), demonstriert werden.

Halbleiterdiode als Verbraucher

Gegeben sind folgende Parameter:

\( U_\mathrm{q} = 1 \, \mathrm{V} \); \( R_\mathrm{i} = 50 \, \mathrm{Ω} \)

Die Siliziumdiode hat folgende Kenngrössen:

\( I_\mathrm{S} = 1 \, \mathrm{pA} \); \( \mathrm{m}·U_\mathrm{T} = 25 \, \mathrm{mA} \)

Aufgabe:

Es soll mittels analytischem Näherungsverfahren der Arbeitspunkt der Halbleiterdiode (Klemmenspannung \( U \) und Klemmenstrom \( I \)) auf eine Genauigkeit von \( 10^{-2} \) berechnet werden.


Mögliche Lösung:

Mittels NEWTON-Verfahren kann man den Arbeitspunkt wie folgt berechnen:

Man setzt die Stromgleichung für die Quelle

\( I = \dfrac{U_\mathrm{q}}{R_\mathrm{i}} - \dfrac{1}{R_\mathrm{i}}·U \)

und die Stromgleichung für die Diode

\( I = I_\mathrm{S} · \left[ \mathrm{e}^{\dfrac{U}{\mathrm{m}·U_\mathrm{T}}} - 1 \right] \)

gleich.

Daraus ergibt sich die Nullstellengleichung

\( f(U) = 0 = \dfrac{U_\mathrm{q}}{R_\mathrm{i}} - \left[ \dfrac{1}{R_\mathrm{i}}·\mathrm{U} \right] - I_\mathrm{S} · \left[ \mathrm{e}^{\dfrac{U}{\mathrm{m}·U_\mathrm{T}}} - 1 \right] \)

für die gesuchte Klemmenspannung \( U \).

Hier ist also die Nullstelle einer Funktion \( f(U) \) zu bestimmen, die sich aus einer linearen und einer Exponentialfunktion zusammensetzt. Das gelingt nur mit analytischen oder numerischen Näherungsverfahren oder grafischen Lösungsmethoden.

Wenn man das NEWTON-Verfahren wählt, ergibt sich folgende mögliche Lösung:

Die Formel

\( x_{n + 1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}, \; \), \( n=1,2,3,... \)

übertragen auf das elektrotechnische Problem lautet dann:

\( U_{n + 1} = U_n - \dfrac{f(U_n)}{f '(U_n)} \)
mit:\( U_n = \) Startwert;
\( U_{n+1} = \) verbesserter Startwert

Die erste Ableitung \( f '(U) \) ergibt sich durch Anwendung der Summenregel, Faktorregel und Kettenregel der Differentialrechnung zu

\( f'(U) = \dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}U} = - \dfrac{1}{R_i} - \dfrac{1}{\mathrm{m}·U_\mathrm{T}} · I_\mathrm{S} · \mathrm{e}^{\dfrac{U}{\mathrm{m}·U_\mathrm{T}}} \)

Somit ergibt sich für die erste Näherung:

\( U_{n + 1} = U_n - \dfrac{f(U_n)}{f '(U_n)} = U_n - \dfrac{ \dfrac{U_\mathrm{q}}{R_\mathrm{i}} - \dfrac{U_n}{R_\mathrm{i}} - I_\mathrm{S} · \left[ \mathrm{e}^{\dfrac{U_n}{\mathrm{m}·U_\mathrm{T}}} - 1 \right] }{ - \dfrac{1}{R_i} - \dfrac{1}{\mathrm{m}·U_\mathrm{T}} · I_\mathrm{S} · \mathrm{e}^{\dfrac{U_n}{\mathrm{m}·U_\mathrm{T}}} } \)

Einsetzen aller Werte liefert bei einem gewählten Startwert \( U_n = 0{,}6 \, \mathrm{V} \) einen verbesserten Näherungswert

\( U_{n+1} = 0{,}58 \, \mathrm{V} \)

Setzt man diesen verbesserten Wert als neuen Startwert \( U_n \) in die Näherungsformel ein, so erhält man nach endlicher Rechnung

\( U_{n+1} = 0{,}573 \, \mathrm{V} \)

Setzt man diesen verbesserten Wert als neuen Startwert \( U_n \) in die Näherungsformel ein, so erhält man nach endlicher Rechnung

\( U_{n+1} = 0{,}572 \, \mathrm{V} \)

Damit ist die geforderte Genauigkeit für die Klemmenspannung \( U \) erreicht.

Der Klemmenstrom \( I \) ergibt sich mit

\( I = \dfrac{U_\mathrm{q}}{R_\mathrm{i}} - \dfrac{1}{R_\mathrm{i}}·U = 8{,}56 \, \mathrm{mA} \)

Bemerkung:
Von der Wahl eines geeigneten Startwertes hängt die Konvergenzgeschwindigkeit des Näherungswertes gegen die exakte Nullstelle ab.
Wesentlich schneller kommt man zu einer möglichen Lösung durch Anwendung von Mathcad.