Extremwertberechnung

Wie wird die Extremwertberechnung durchgeführt?

Mögliche elektrotechnische Fragestellung und notwendige mathematische Grundlagen

Aus der mathematischen Beschreibung der Nutzleistung im Grundstromkreis

\( P_\mathrm{a} = U·I = R_\mathrm{a}·I^2 = U_\mathrm{L}·I_\mathrm{K}·\dfrac{\dfrac{R_\mathrm{a}}{R_\mathrm{i}}}{\left( 1 + \dfrac{R_\mathrm{a}}{R_\mathrm{i}} \right)^2} \)

errechnet sich die maximale Verbraucherleistung als Extremwertaufgabe für \( P_\mathrm{a} \) als Funktion von \( \dfrac{R_\mathrm{a}}{R_\mathrm{i}} \), d.h. es ist die Differentialrechnung zur Lösung der Aufgabe anzuwenden.

Wir ersetzen \( x = \dfrac{R_\mathrm{a}}{R_\mathrm{i}} \) und \( c = U_\mathrm{L}·I_\mathrm{K} \) und erhalten damit die Funktion in der folgenden Form

\( P_\mathrm{a} \left( \dfrac{R_\mathrm{a}}{R_\mathrm{i}} \right) = P_\mathrm{a}(x) = \mathrm{c}·\dfrac{x}{(1+x)^2} \), mit \( c \) = konstant

Diesen Funktionstyp sollten Sie aus der gymnasialen Oberstufe als gebrochen-rationale Funktion erkennen.

Die Extremwertaufgabe lautet jetzt: Für welche \( x \) wird die Verbraucherleistung \( P_\mathrm{a} \) maximal?

Schritte zur Berechnung der extremalen Größe \( x \):

1.) Erste Ableitungsfunktion nach \( x \) bilden,

2.) Erste Ableitungsfunktion gleich Null setzen (Hilfsmittel: Differentiationsregeln),

3.) Extremale Grösse \( x \) ausrechnen.

Angewandt auf die obige Gleichung folgt:

1.) Erste Ableitung berechnen

- Festlegen der Teilfunktionen für Zähler und Nenner:

\( P_\mathrm{a} \left( \dfrac{R_\mathrm{a}}{R_\mathrm{i}} \right) = \mathrm{P}_\mathrm{a}(x) = c·\dfrac{x}{(1+x)^2} = c·\dfrac{u(x)}{v(x)} \)

- Ableiten nach \( x \):

Wegen \( u(x) = x \) und \( v(x) = (1+x)^2 \) folgt nach der Quotientenregel:

\( P'_\mathrm{a}(\mathrm{x}) = \dfrac{\mathrm{d}P_\mathrm{a}}{\mathrm{d}x} = c·\dfrac{u'·v-u·v'}{v^2} \) mit \( u' = 1 \) und \( v' = 2·(1+x)·1 \) [Kettenregel]
\( P'_\mathrm{a}(\mathrm{x}) = \dfrac{\mathrm{d}P_\mathrm{a}}{\mathrm{d}x} = c·\dfrac{1·(1+x)^2-x·2·(1+x)}{(1+x)^4} \), \( mit x ≠ -1 \)!!!

2.) Erste Ableitungsfunktion gleich Null setzen

\( P'_\mathrm{a}(\mathrm{x}) = \dfrac{\mathrm{d}P_\mathrm{a}}{\mathrm{d}x} = c·\dfrac{1·(1+x)^2-x·2·(1+x)}{(1+x)^4} = 0 \), \( mit c ≠ 0 \)
- Lösen der Gleichung zur Bestimmung von x.

3.) Extremwerte für x berechnen

- Lösen der Bruchgleichung

\( \begin{array}{lll} \dfrac{1·(1+x)^2-x·2·(1+x)}{(1+x)^4} & \; = \; & 0 \\ \dfrac{1·(1+x)^2-x·2·(1+x)}{1} & \; = \; & 0·(1+x)^4 \\ (1+x)·\left[ (1+x) - 2x \right] & \; = \; & 0 \\ (1+x)·\left[ 1-x \right] & \; = \; & 0 \end{array} \)

Hinweis: Das Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich 0 ist.

Fall 1: \( 1+x = 0 \implies \mathrm{x} = -1 \) nicht Element des Definitionsbereiches! Keine Lösung!

Fall 2: \( 1-x = 0 \implies \mathrm{x} = -1 \) \( \dfrac{R_\mathrm{a}}{R_\mathrm{i}} = 1 \implies R_\mathrm{a} = R_\mathrm{i} \)

Interpretation der Lösung

Die Funktion der Verbraucherleistung

\( P_\mathrm{a} = U·I = R_\mathrm{a}·I^2 = U_\mathrm{L}·I_\mathrm{K}·\dfrac{\dfrac{R_\mathrm{a}}{R_\mathrm{i}}}{\left( 1 + \dfrac{R_\mathrm{a}}{R_\mathrm{i}} \right)^2} \)

nimmt ihr Maximum an, wenn \( R_\mathrm{a} = R_\mathrm{i} \) gilt! (Siehe Abbildung)

Der Nachweis des Maximums kann z.B. über den Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung geschehen, ergibt sich aber hier aus dem elektrotechnischen Sachverhalt !