Extremwertberechnung

Wie wird die Extremwertberechnung durchgeführt?

Notwendige mathematische Grundlagen:

Aus der mathematischen Beschreibung der Nutzleistung

\( P_\mathrm{a} = U·I = R_\mathrm{a}·I^2 = U_\mathrm{L}·I_\mathrm{K}·\dfrac{\dfrac{R_\mathrm{a}}{R_\mathrm{i}}}{\left( 1 + \dfrac{R_\mathrm{a}}{R_\mathrm{i}} \right)^2} \)

errechnet sich die maximale Verbraucherleistung als Extremwertaufgabe für die Funktion \( P_\mathrm{a} = \left( \dfrac{R_\mathrm{a}}{R_\mathrm{i}} \right) \), d.h. man muss die Differentialrechnung anwenden.

Schema einer Extremwertaufgabe wiederholen?Mathe-Online.at

Setzt man \( \left( \dfrac{R_\mathrm{a}}{R_\mathrm{i}} \right) = x \) und \( U_\mathrm{L}·I_\mathrm{K} = c \) ein,
so lautet jetzt die Funktion

\( P_\mathrm{a} \left( \dfrac{R_\mathrm{a}}{R_\mathrm{i}} \right) = P_\mathrm{a}(x) = \mathrm{c}·\dfrac{x}{(1+x)^2} \), \( c \) = konstant

Diesen Funktionstyp sollten Sie aus der gymnasialen Oberstufe als gebrochen-rationale Funktion erkennen.

Die Extremwertaufgabe lautet jetzt:
Für welche \( x \) wird die Verbraucherleistung \( P_\mathrm{a} \) maximal?

Schrittfolge zur Berechnung der extremalen Grösse \( x \):

  1. Erste Ableitungsfunktion nach \( x \) bilden,
  2. Erste Ableitungsfunktion gleich Null setzen (Hilfsmittel: Differentiationsregeln),
  3. Extremale Grösse \( x \) ausrechnen.

Schrittfolge am Beispiel:

1.Schritt:

\( P_\mathrm{a} \left( \dfrac{R_\mathrm{a}}{R_\mathrm{i}} \right) = \mathrm{P}_\mathrm{a}(x) = c·\dfrac{x}{(1+x)^2} = c·\dfrac{u(x)}{v(x)} \)

ableiten nach \( x \),

wegen \( u(x) = x \) und \( v(x) = (1+x)^2 \) folgt nach der Quotientenregel:

\( P'_\mathrm{a}(\mathrm{x}) = \dfrac{\mathrm{d}P_\mathrm{a}}{\mathrm{d}x} = c·\dfrac{u'·v-u·v'}{v^2} \) mit \( u' = 1 \) und \( v' = 2·(1+x)·1 \) [Kettenregel]
\( P'_\mathrm{a}(\mathrm{x}) = \dfrac{\mathrm{d}P_\mathrm{a}}{\mathrm{d}x} = c·\dfrac{1·(1+x)^2-x·2·(1+x)}{(1+x)^4} \); \( x ≠ -1 \)!!!

2. Schritt:

\( P'_\mathrm{a}(\mathrm{x}) = \dfrac{\mathrm{d}P_\mathrm{a}}{\mathrm{d}x} = c·\dfrac{1·(1+x)^2-x·2·(1+x)}{(1+x)^4} = 0 \); \( c ≠ 0 \)
[Bruchgleichung zur Bestimmung von x lösen !]

3. Schritt:

Lösen der Bruchgleichung

\( \begin{array}{lll} \dfrac{1·(1+x)^2-x·2·(1+x)}{(1+x)^4} & \; = \; & 0 \\ \dfrac{1·(1+x)^2-x·2·(1+x)}{1} & \; = \; & 0·(1+x)^4 \\ (1+x)·\left[ (1+x) - 2x \right] & \; = \; & 0 \\ (1+x)·\left[ 1-x \right] & \; = \; & 0 \end{array} \)

[Produkt gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich 0]

Fall 1: \( 1+x = 0 \implies \mathrm{x} = -1 \) nicht Element des Definitionsbereiches! Keine Lösung!

Fall 2 : \( 1-x = 0 \implies \mathrm{x} = -1 \) \( \dfrac{R_\mathrm{a}}{R_\mathrm{i}} = 1 \implies R_\mathrm{a} = R_\mathrm{i} \)

Deutung der Lösung:

Die Funktion der Verbraucherleistung

\( P_\mathrm{a} = U·I = R_\mathrm{a}·I^2 = U_\mathrm{L}·I_\mathrm{K}·\dfrac{\dfrac{R_\mathrm{a}}{R_\mathrm{i}}}{\left( 1 + \dfrac{R_\mathrm{a}}{R_\mathrm{i}} \right)^2} \)

nimmt Ihr Maximum an, wenn \( R_\mathrm{a} = R_\mathrm{i} \) gilt! (vgl. nachfolgende Grafik)

Der Nachweis des Maximums kann z.B. über den Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung geschehen, ergibt sich aber hier aus dem elektrotechnischen Sachverhalt !