Lineare Gleichungen
Wie benutzt man die Punktrichtungsgleichung?
Elektrotechnisches Problem
Die nebenstehende Abbildung zeigt den funktionellen Verlauf einer Ladungsmenge \( Q \), die einen Strömungsquerschnitt passiert.
Es ist die Funktion des Ladungsverlaufes in Abhängigkeit von der Zeit \( Q (t) \) in den jeweiligen Zeitbereichen anzugeben und daraus der Stromverlauf \( i (t) \) durch den Strömungsquerschnitt zu bestimmen.
Notwendige mathematische Grundlagen:
Bekannt sind ein Punkt \( P_0(x_0 | y_0) \) auf der Gerade und der Anstieg der Gerade \( m = \mathrm{tan}(α) \).
Gesucht ist \( y = f (x) \) bzw. \( y(x) \).
In der Formelsammlung finden wir für die Punkt-Steigungsgleichung:
Für \( y(x) \) folgt daraus:
Auf die obige Elektrotechnik-Aufgabenstellung zugeschnitten gilt:
| \( y = Q \) | → | \( y_0 = Q(t=0) = Q(t_0) \) |
| \( x = t \) | → | \( x_0 = t_0 \) |
| \( m = \dfrac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} = i\) | → | Der Anstieg \( m \) der Geraden im ersten Intervall ist 1. (Dies entspricht der Ableitung der Ladung nach der Zeit \( \mathrm{d}Q/\mathrm{d}t \).) |
Gesucht ist also:
Damit gilt:
oder umgestellt nach \( Q(t) \):
Beim Einsetzen der Werte für den ersten Geradenabschnitt erhalten wir:
Dies liefert den Ladungsverlauf in Abhängigkeit von der Zeit im Intervall \( 0 \leq t \leq 1s\)
\( Q(t) = 1 \, \mathrm{mA} · t \)
Analog ist der Ladungsverlauf für die folgenden Intervalle der abschnittsweise definierten Funktion \( Q(t) \) zu ermitteln.
Beachten Sie dabei die Intervallgrenzen und die jeweiligen Anstiege der Funktion \( Q(t) \)!
Versuchen Sie es nun selbst für die verbleibenden vier Funktionsabschnitte!
Sie schaffen das bestimmt!
Stellen Sie nun noch den Verlauf des Stromes \( i (t) \) in einem Liniendiagramm dar.
