Wiederholung des NEWTON Verfahrens

Das NEWTON-Verfahren oder auch Tangentennäherungsverfahren dient der schrittweisen Berechnung von Nullstellen beliebiger auf einem Intervall \( I \) differenzierbarer Funktionen. Es gehört zu den Iterationsverfahren in der Analysis.
Es ist also die "Nullstellengleichung" \( f (x) = 0 \) zu lösen.

Ausgehend von einem Anfangswert oder Startwert \( x_n = 0 \) konvergiert unter bestimmten Voraussetzungen die Folge der Tangentennullstellen mit

\( x_{n + 1} = x_n - \dfrac{f (x_n)}{f '(x_n)} \; \), \( n = 1,2,3,... \)

nach endlich vielen Rechenschritten gegen die exakte Nullstelle von \( f (x) = 0 \).
Die Näherungsformel entsteht aus der Taylorreihe

\( f (x_0) = 0 = f (a) + \dfrac{h}{1!} f '(a) + \dfrac{h}{2!} f''(a) + ... \)

wobei \( a \) ein geschätzter Näherungswert einer exakten Lösung \( a_0 \) ist, der um \( h \) von der Lösung \( x_0 \) entfernt ist, also \( x_0 = a + h \).
Bricht man die Taylorreihe nach dem 2. Glied ab, setzt \( a = x_0 \) und \( a + h = x_{n+1} \) und löst nach \( x_{n+1} \) auf, erhält man die Näherungsformel.

Beispiel:

Gegeben:\( f (x) = 1 - \mathrm{x} - \mathrm{e}^x \; \), \( x \in ℝ \)
Gesucht: \( f (x) = 0 \)
Lösung:\( 0 = 1 - x - \mathrm{e}^x \)

Die „Nullstellengleichung“ lässt sich mit elementaren Mitteln nicht lösen. Durch probieren findet man hier leicht die exakte Nullstelle \( x_0 = 0 \) als Lösung oder mit Mathcad die graphische Lösung \( x_0 = 0 \) (vgl. Abb).

grafische Lösung der Nullstellengleichung

Mittels Tangentennäherungsverfahren oder NEWTON-Verfahren gelangt man ebenfalls zu dem gleichen Ergebnis mit hinreichender Genauigkeit.
Als Startwert für das NEWTON-Verfahren wählen wir eine Stelle rechts von der vermuteten exakten Nullstelle, z.B. \( x_n = 0{,}01 \)

Legen wir durch den Punkt \( P(x_n ; f (x_n)) \) eine Tangente an das Bild von \( f (x) \),
so schneidet diese die \( x \)-Achse an der Stelle \( x_n \).

Die Berechnung dieser Stelle erfolgt durch

\( x_{n + 1} = x_n - \dfrac{f (x_n)}{f '(x_n)} \)

Mit

\( f (x) = 1 - \mathrm{x} - \mathrm{e}^x \; \), \( x \in ℝ \)

und

\( f '(x) = 0 - 1 - \mathrm{e}^x \)

folgt

\( x_{n+1} = 0{,}01 - \dfrac{f (0{,}01)}{f '(0{,}01)} = \dfrac{1 - 0{,}01 - \mathrm{e}^{0{,}01}}{-1-\mathrm{e}^{0{,}01}} \)

Legen wir durch den Punkt \( P(x_{n+1} ; f (x_{n+1})) \), eine Tangente an das Bild von \( f (x) \), so schneidet diese die \( x \)-Achse an der Stelle \( x_{n+2} \).
Die Berechnung dieser Stelle erfolgt durch

\( x_{n + 2} = x_{n+1} - \dfrac{f (x_{n+1})}{f '(x_{n+1})} \)

Also

\( \begin{array} {lll} x_{n + 2} & \; = \; & 0{,}09746 - \dfrac{f (0{,}09746)}{f '(0{,}09746)} = \dfrac{1 - 0{,}09746 - \mathrm{e}^{0{,}09746}}{-1 - \mathrm{e}^{0{,}09746}} \\ x_{n + 3} & \; = \; & .... \\ x_{n + 4} & \; = \; & .... \end{array} \)

Nach endlich vielen Schritten konvergiert die Folge der Tangentennullstellen gegen die exakte Nullstelle von \( f (x) \), hier \( x = 0 \).


Die gleiche Rechnung lässt sich rationeller mittels Mathcad durchführen

Schnelle Lösung der Nullstellengleichung \( f (x) = 0 \) mit Mathcad