Eigenschaften des Skalarpodukts
Eigenschaften des Skalarproduktes
| 1. | \( \vec{a}·\vec{b}=\vec{b}·\vec{a} \) (kommutativ) |
| 2. | \( \mathrm{r}·(\vec{a}·\vec{b})=(\mathrm{r}·\vec{a})·\vec{b}=\vec{a}·(\mathrm{r}·\vec{b}) \), \( \mathrm{r} ∈ \mathrm{ℝ} \) (assoziativ bezüglich \( r \)) |
| 3. | \( (\vec{a}+\vec{b})·\vec{c}=\vec{a}·\vec{c}+\vec{b}·\vec{c} \) (distributiv) |
| 4. | \( \vec{a}·\vec{b}=0 \Leftrightarrow |\vec{a}|=0 \vee |\vec{b}|=0 \vee \mathrm{cos} φ=0 \Rightarrow φ = 90° \) [gelesen: \( a \) Punkt \( b=0 \) genau dann wenn, \( a \) Betrag \( =0 \) oder \( b \) Betrag \( =0 \) oder \( \mathrm{cos} φ=0 \), impliziert \( φ = 90° \)] |
| 5. |
Folgerung: \( \vec{a}·\vec{b}=0 \Leftrightarrow \vec{a} \perp \vec{b} \) Folgerung: \( \vec{a}·\vec{b}=|\vec{a}|·|\vec{b}| \Leftrightarrow \vec{a} \parallel \vec{b} \) |
| 6. | Für die skalare Multiplikation der Einheitsvektoren \( \vec{e}_\mathrm{x} \), \( \vec{e}_\mathrm{y} \), \( \vec{e}_\mathrm{z} \)
in einem rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem erhält man:
\( \vec{e}_\mathrm{x}·\vec{e}_\mathrm{y}=\vec{e}_\mathrm{x}·\vec{e}_\mathrm{z}=\vec{e}_\mathrm{y}·\vec{e}_\mathrm{z}=1·1·\mathrm{cos} \; 90°=0 \) |
| 7. | Die Berechnungsvorschrift für das Skalarprodukt zweier Vektoren in Koordinatenschreibweise lautet:
\( \vec{a}·\vec{b}=\begin{pmatrix} a_\mathrm{x} \\ a_\mathrm{y} \\ a_\mathrm{z} \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} b_\mathrm{x} \\ b_\mathrm{y} \\ b_\mathrm{z} \end{pmatrix}=a_\mathrm{x} b_\mathrm{x}+a_\mathrm{y} b_\mathrm{y}+a_\mathrm{z} b_\mathrm{z} \) |
| 8. | Die Potenzschreibweise des Skalarproduktes eines Vektors mit sich selbst liefert:
\( \vec{a}·\vec{a}=\vec{a}^2=|\vec{a}|·|\vec{a}|·\mathrm{cos} \; 0° = |\vec{a}|^2 \) |
| 9. | Berechnung eines Winkels \( φ \) zwischen zwei Vektoren \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \):
aus \( \vec{a}·\vec{b} = |\vec{a}|·|\vec{b}|·\mathrm{cos} \ φ \) |
