Spannung, Potenzial

Spannungsabfall

Um eine Ladung \( Q \) von einem Punkt \( \mathrm{P}_1 \) zu einem Punkt \( \mathrm{P}_2 \) zu verschieben, ist Verschiebearbeit notwendig, die über das Wegintegral der Kraft berechnet werden kann:

\( \mathrm{Δ}W = \displaystyle\int \limits_{\mathrm{P}_1}^{\mathrm{P}_2} \vec{F} \: \mathrm{d} \vec{l} = \displaystyle\int \limits_{\mathrm{P}_1}^{\mathrm{P}_2} \vec{E} \: \mathrm{d} \vec{l} \)
(22)
Brückenkurs Mathematik: Wie wird das Wegintegral (z.B. entlang der elektrischen Feldstärke) ausgewertet?

Bezieht man die Verschiebearbeit auf die Ladung, erhält man die elektrische Größe Spannungsabfall \( U_{12} \) (verkürzt \( U \))

\( U_{12} = U = \dfrac {\mathrm{Δ}W} {Q} = \displaystyle\int \limits_{\mathrm{P}_1}^{\mathrm{P}_2} \vec{E} \: \mathrm{d} \vec{l} = \displaystyle\int \limits_1^2 \vec{E} \: \mathrm{d} \vec{l} \)
(23)

Die Auswertung des Wegintegrals der elektrischen Feldstärke soll an einem Beispiel demonstriert werden:



\( \mathrm{Δ}U_1 = \vec{E}_1 \, \mathrm{Δ}\vec{l}_1 = E_1 \, \mathrm{Δ}l_1 \cos(90^{\circ}) = 0 \)
\( \mathrm{Δ}U_2 = \vec{E}_2 \, \mathrm{Δ}\vec{l}_2 = E_2 \, \mathrm{Δ}l_2 \cos(α) \)
\( \mathrm{Δ}U_3 = \vec{E}_3 \, \mathrm{Δ}\vec{l}_3 = E_3 \, \mathrm{Δ}l_3 \cos(0^{\circ}) = E_3 \, \mathrm{Δ}l_3 \)

Man kann aus dem Beispiel verallgemeinern:

\( |\vec{E}| = E = \dfrac {\mathrm{Δ}U} {\mathrm{Δ}l^*} \)
(24)

Dabei ist \( l* \) in Richtung des größten Spannungsabfalls zu nehmen.

Potenzial \( \mathbf{φ} \)

Der Raumzustand, das elektrische Feld, ist Energieraum, nämlich Träger potenzieller Energie. Die Verschiebearbeit wird dem Energieraum entnommen. Der Energiebetrag ist gleich der Differenz der potenziellen Energie der Ladung in den Punkten \( \mathrm{P}_1 \), \( \mathrm{P}_2 \). Die Angabe einer potenziellen Energie erfordert einen Bezugspunkt \( \mathrm{P}_0 \), in dem die potenzielle Energie der Ladung Null gesetzt wird.

Aus Gleichung (23) erhält man:

\( \dfrac {\mathrm{Δ}W} {Q} = \dfrac {W_{\mathrm{pot}(\mathrm{P}_1)}} {Q} - \dfrac {W_{\mathrm{pot}(\mathrm{P}_2)}} {Q} = \displaystyle\int \limits_{\mathrm{P}_1}^{\mathrm{P}_0} \vec{E} \: \mathrm{d} \vec{l} - \displaystyle\int \limits_{\mathrm{P}_2}^{\mathrm{P}_0} \vec{E} \: \mathrm{d} \vec{l} = U_{12} \)
(25)

Mit der Potenzialdefinition:

\( \begin{array}{l} φ_1 = \dfrac {W_{\mathrm{pot}(\mathrm{P}_1)}} {Q} = \displaystyle\int \limits_{\mathrm{P}_1}^{\mathrm{P}_0} \vec{E} \: \mathrm{d} \vec{l} \\ φ_2 = \dfrac {W_{\mathrm{pot}(\mathrm{P}_2)}} {Q} = \displaystyle\int \limits_{\mathrm{P}_2}^{\mathrm{P}_0} \vec{E} \: \mathrm{d} \vec{l} \end{array} \)
(26)

folgt die Spannung als Potenzialdifferenz:

\( U_{12} = φ_1 - φ_2 \)
(27)

Das Potenzial \( φ \) eines Feldpunktes \( \mathrm{P}_1 \) charakterisiert den Unterschied an potenzieller Energie einer positiven Ladung \( Q \) zwischen diesem Punkt und einem Bezugspunkt \( \mathrm{P}_0 \) mit dem Potenzialwert \( φ_0 = 0 \) (Bezugspotenzial).

Quellspannung \( \mathbf{U_\mathrm{q}} \)

Die Bewegung der Ladungen auf geschlossenen Bahnen erfordert Stellen, an denen das Niveau der potenziellen Energie der Ladungen wieder angehoben wird. Das sind Spannungsquellen mit der Quellspannung \( U_\mathrm{q} \), in denen es zur Umformung nichtelektrischer Energieformen in elektrische Energie kommt.

Einheit der Spannung und der Feldstärke

Aus Gleichung (23) kommt man zur Einheit der Spannung Volt:

\( [U] = \dfrac {[W]} {[Q]} = 1 \, \mathrm{kg} \dfrac {\mathrm{m}} {\mathrm{s}^2} · \mathrm{m} · \dfrac {1} {\mathrm{As}} = 1 \, \mathrm{kg} \dfrac {\mathrm{m}^2} {\mathrm{As}^3} = 1 \, \mathrm{Volt} = 1 \, \mathrm{V} \)
(28)

Damit ist auch die Einheit des Potenzials

\( [\mathrm{φ}] = 1 \, \mathrm{V} \)
(29)

Namensgeber dieser Einheit ist der italienische Physikprofessor Alessandro Volta.

Aus Gleichung (24) findet man:

\( [E] = \dfrac {[U]} {[l]} = 1 \dfrac {\mathrm{V}} {\mathrm{m}}, 1 \dfrac {\mathrm{V}} {\mathrm{cm}}, 1 \dfrac {\mathrm{V}} {\mathrm{mm}} \)
(30)

um auch die wichtigsten Untereinheiten mit anzugeben.

Spannungsmessung

An dem Drehspulmesswerk eines Vielfachmessers liegt bei Vollausschlag infolge des Widerstandes der Stromspule eine Messspannung. Um höhere Spannungen messen zu können, werden Vorwiderstände verwendet (umschaltbare Spannungsmessbereiche).

Vielfachmesser
Vielfachinstrument
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Messgeräte mit Analog/Digital-Umsetzern zeigen die Spannungs- und Stromwerte digital an.

Spannungsmessgeräte
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