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Varistorkennlinie

Beispiel 12

Von einem Varistor sind folgende Messpunkte der \( I \)-\( U \)-Kennlinie bekannt:

\( I / \mathrm{mA} \)	0	5	10	20	30	50	100	150
\( U / \mathrm{V} \)	0	14	18	21	23	27	32,5	35

a)	Mittels der Messpunkte sollen die Parameter \( B \) und \( n \) der Beschreibungsgleichung (69) bestimmt werden.
b)	Für \( I = 10, 50, 100, 150 \, \mathrm{mA} \) sollen der Gleichstromwiderstand \( R \) und der differentielle Widerstand \( r \) ermittelt werden.

Lösung zu a)

Wie wird eine Funktionsgleichung aus Messwertpaaren ermittelt?
(Schrittweise Wiederholung des Algorithmus und Lösung mit Mathcad)

Aus den Messwertpaaren können durch Regression (Ausgleichsrechnung) die Parameter der Ausgleichskurve bestimmt werden. Die Ausgleichskurve gibt den Verlauf von Messwertpaaren näherungsweise wieder. Gleichung (69) ist eine Potenzfunktion mit den Parametern \( n \), \( B \).

Durch Logarithmieren kann der Potenzansatz auf die Ausgleichsrechnung mit dem Lösungsansatz Ausgleichsgerade (Regressionsgerade) gebracht werden:

\( \mathrm{log}\left( \dfrac{I}{1\;\mathrm{mA}} \right) = n·\mathrm{log}\left( \dfrac{U}{B} \right) = n·\left( \mathrm{log}\left( \dfrac{U}{1\;\mathrm{V}} \right) - \mathrm{log}\left( \dfrac{B}{1\;\mathrm{V}} \right) \right) \)

Mit

\( \begin{array}{lll} y & \; = \; & \mathrm{log}\left( \dfrac{I}{1\;\mathrm{mA}} \right) \\ x & \; = \; & \mathrm{log}\left( \dfrac{U}{1\;\mathrm{V}} \right) \end{array} \)

lautet der Ansatz für die Regressionsgerade

\( y = a + bx \)

Sind die Parameter \( a \), \( b \) der Regressionsgerade bestimmt, folgen durch Vergleich die Parameter der \( I \)-\( U \)-Kennlinie:

\( \begin{array}{l} n = b \\ -n · \mathrm{log}\left( \dfrac{B}{1\;\mathrm{V}} \right) = a \\ \dfrac{B}{1\;\mathrm{V}} = 10^{- \dfrac{a}{b}} \end{array} \)

Zuerst werden die Messwertpaare für Spannung und Strom in die Messwertpaare ( \( x_i, y_i \) ) umgerechnet:

\( i \)		1	2	3	4	5	6	7
\( U/\mathrm{V} \)	0	14	18	21	23	27	32,5	35
\( x \)		1,146	1,255	1,322	1,362	1,431	1,512	1,544
\( I/\mathrm{mA} \)	0	5	10	20	30	50	100	150
\( y \)		0,699	1	1,301	1,477	1,699	2	2,176

Die Parameter \( a, b \) der Regressionsgeraden werden so bestimmt, dass die Summe der Abstandsquadrate \( M \) minimal ist:

\( M = \displaystyle\sum_{i=1}^7 \left[ (y_i) - (a+b·x_i)^2 \right] = \mathrm{Minimum} \)

(Gaußsches Minimalprinzip)

Aus dieser Extremwertaufgabe folgen die Bestimmungsgleichungen:

\( \dfrac{\partial M}{\partial a} = 0 = \displaystyle\sum_{i=1}^7 2·\left[ (y_i) - (a+b·x_i) \right]·(-1) \)

\( \dfrac{\partial M}{\partial b} = \displaystyle\sum_{i=1}^7 2·\left[ (y_i) - (a+b·x_i) \right]·(-x_i)=0 \)

Nach Umformungen erhält man mit 7 Messwertpaaren ( \( x_i, y_i \) ) das Gleichungssystem:

\( \displaystyle\sum_{i=1}^7 y_i = 7·a + \left( \displaystyle\sum_{i=1}^7 x_i \right)·b \)
\( \displaystyle\sum_{i=1}^7 x_i·y_i = \left(\displaystyle\sum_{i=1}^7 x_i \right)·a + \left(\displaystyle\sum_{i=1}^7 x_i^2 \right)·b \)

Die Lösung lautet:

\( a = - 3{,}620 \)
\( b = 3{,}729 \)

(Die meisten Taschenrechner bieten in der Betriebsart "Statistische Berechnungen" die Berechnung der Parameter \( a, b \) der Regressionsgeraden aus den Wertepaaren ( \( x_i, y_i \) ) an.)

Damit folgen die Parameter der U-I-Kennlinie des Varistors:

\( n = 3{,}729 \)
\( B = 9{,}349 \, \mathrm{V} \)

Folgendes Bild zeigt die \( I \)-\( U \)-Kennlinie nach Gleichung (69) und die Messpunkte

: Dartellung der Messpunkte und der U-I-Kennlinie nach Gl. (69)

Folgendes Bild zeigt zeigt die Regressionsgerade und die verrechneten Messpunkte.

: Dartellung der verrechneten Messpunkte und der Regressionsgerade

Lösung zu b)

Gleichstromwiderstand \( R \) und differentieller Widerstand \( r \):

\( I_i \)	10 mA	50 mA	100 mA	150 mA
\( R_i = \dfrac{U_i}{I_i} \) (Messwerte)	1800 Ω	540 Ω	325 Ω	233 Ω
\( R_i \) aus Gleichung (72)	1734 Ω	534 Ω	322 Ω	239 Ω
\( r_i \) aus Gleichung (74)	465 Ω	143 Ω	86 Ω	64 Ω