Knotenspannungsanalyse
Für die gegebene Schaltung sind alle Zweigströme mit Hilfe der Knotenspannungsanalyse zu berechnen.
Vorbetrachtungen
Die Schaltung enthält eine reale Stromquelle [\( I_{\mathrm{q}4} \) mit \( R_4 \)], die vor der Knotenspannungsanalyse in eine äquivalente
Spannungsquellenersatzschaltung [\( U_{\mathrm{q}4} \) und \( R_4 \)] umgewandelt wird ( \( U_{\mathrm{q}4} = R_4·I_\mathrm{q4} \),
siehe Ersatzquellen ):
Die Schaltung hat 3 Knoten (2 linear unabhängige) und 5 Zweige.
Schritt 1:
In jedem der 5 Zweige wird der Zweigstrom (Stromrichtung beliebig) eingetragen.
Schritt 2:
Wir definieren einen Knoten als Bezugsknoten und kennzeichnen ihn mit 0. Die verbleibenden Knoten nummerieren wir mit 1 und 2.
Schritt 3:
Wir tragen die beiden Knotenspannungen \( U_{10} \) und \( U_{20} \) ein. (Der Spannungspfeil zeigt jeweils zum Bezugsknoten.)
Im Ergebnis sollte die Schaltung so aussehen:
Diskutieren Sie weitere Möglichkeiten für die Festlegung der Knoten und Knotenspannungen!
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Schritt 4:
Wir stellen die Kirchhoffschen Knotengleichungen für die Knoten 1 und 2 auf.
Knotengleichung 1: \( I_1 + I_2 - I_4 = 0 \)
Knotengleichung 2: \( I_4 + I_5 + I_6 = 0 \)
| Für die 5 Zweige stellen wir je eine Maschengleichung mit Hilfe der Knotenspannungen auf. (Es empfiehlt sich, jeweils am Bezugsknoten zu beginnen.) |
Die Maschengleichungen werden nach den Zweigströmen aufgelöst und wir erhalten die Strom-Knotenspannungsgleichungen. |
| \( -I_1 · R_1 - U_{\mathrm{q}1} + U_{10} = 0 \) | \( I_1 = \dfrac{U_{10} - U_{\mathrm{q}1}}{R_1} \) |
| \( -I_2 · (R_2 + R_3) + U_{10} = 0 \) | \( I_2 = \dfrac{U_{10}}{R_2 + R_3} \) |
| \( -U_{10} - I_4 · R_4 + U_{\mathrm{q}4} + U_{20} = 0 \) | \( I_4 = \dfrac{U_{20} - U_{10} + U_{\mathrm{q}4}}{R_4} \) |
| \( -I_5 · R_5 + U_{\mathrm{q}5} + U_{20} = 0 \) | \( I_5 = \dfrac{U_{20} + U_{\mathrm{q}5}}{R_5} \) |
| \( -I_6 · R_6 + U_{20} = 0 \) | \( I_6 = \dfrac{U_{20}}{R_6} \) |
Schritt 6:
Die 5 Strom-Knotenspannungsgleichungen aus Schritt 5 werden in die 2 Knotengleichungen aus Schritt 4 eingesetzt.
Resultierend erhalten wir ein Gleichungssystem, in dem nur noch die Knotenspannungen \( U_{10} \) und \( U_{20} \)
als Unbekannte enthalten sind:
Knotengleichung 1: \( \ \dfrac{U_{10} - U_{\mathrm{q}1}}{R_1} + \dfrac{U_{10}}{R_2 + R_3} - \dfrac{U_{20} - U_{10} + U_{\mathrm{q}4}}{R_4} = 0 \)
Knotengleichung 2: \( \ \dfrac{U_{20} - U_{10} + U_{\mathrm{q}4}}{R_4} + \dfrac{U_{20} + U_{\mathrm{q}5}}{R_5} + \dfrac{U_{20}}{R_6} = 0 \)
Mit Einführen der Knotenspannungen gelang es uns, das ursprungliche Gleichungssystem von 5 (unbekannte Zweigströme) auf 2
(unbekannte Knotenspannungen) Gleichungen zu reduzieren.
Durch Umstellen und Ordnen erhalten wir:
Knotengleichung 1: \( \ U_{10} · \left(\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2 + R_3} + \dfrac{1}{R_4}\right) - U_{20} · \dfrac{1}{R_4} = \dfrac{U_{\mathrm{q}1}}{R_1} + \dfrac{U_{\mathrm{q}4}}{R_4} \)
Knotengleichung 2: \( -U_{10} · \dfrac{1}{R_4} + U_{20} · \left(\dfrac{1}{R_4} + \dfrac{1}{R_5} + \dfrac{1}{R_6}\right) = -\dfrac{U_{\mathrm{q}4}}{R_4} - \dfrac{U_{\mathrm{q}5}}{R_5} \)
Alternativ können wir das Gleichungssystem auch in Matrixform angeben:
\( \begin{bmatrix} \left(\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2 + R_3} + \dfrac{1}{R_4}\right) & -\dfrac{1}{R_4} \\ -\dfrac{1}{R_4} & \left(\dfrac{1}{R_4} + \dfrac{1}{R_5} + \dfrac{1}{R_6}\right) \end{bmatrix} · \begin{bmatrix} U_{10} \\ U_{20} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dfrac{U_{\mathrm{q}1}}{R_1} + \dfrac{U_{\mathrm{q}4}}{R_4} \\ -\left(\dfrac{U_{\mathrm{q}4}}{R_4} + \dfrac{U_{\mathrm{q}5}}{R_5}\right) \end{bmatrix} \)Schritt 7:
Wir lösen nun dieses Gleichungssystem mit den aus der Mathematik bekannten Verfahren (z.B. Einsetzverfahren) und bestimmen
die Knotenspannungen \( U_{10} \) und \( U_{20} \).
Schritt 8:
Die gesuchten Zweigströme können wir mit den Strom-Knotenspannungsgleichungen aus Schritt 5 und den Knotenspannungen \( U_{10} \) und
\( U_{20} \) aus Schritt 7 berechnen.
Schauen Sie sich nun die Übungsaufgaben an und probieren Sie sie selbstständig zu lösen.
