Lineare Gleichungen

Wie benutzt man die Punktrichtungsgleichung?

Elektrotechnisches Problem

Die nebenstehende Abbildung zeigt die Ladungsmenge \( Q \) an, die einen Strömungsquerschnitt passiert.

Es ist der Ladungsverlauf in Abhängigkeit von der Zeit \( Q (t) \) in den jeweiligen Zeitbereichen anzugeben und daraus der Stromverlauf \( i (t) \) durch den Strömungsquerschnitt zu bestimmen.


Aufgabe 1.2a) aus dem Lernprogramm „Grundstromkreis“


Notwendige mathematische Grundlagen:

Bekannt sind ein Punkt \( P_0(x_0 | y_0) \) auf der Gerade und der Anstieg der Gerade \( m = \mathrm{tan}(α) \).

Gesucht ist \( y = f (x) \) bzw. \( y(x) \).

Der Formelsammlung entnimmt man als Punkt-Steigungsgleichung:

\( y - y_0 = m · (x - x_0) \quad \ \) mit \( m = \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \)

Für \( y(x) \) folgt also:

\( y(x) = m · (x - x_0) + y_0 \)

Auf die obige Elektrotechnik-Aufgabenstellung zugeschnitten gilt:

\( y = Q \)\( y_0 = Q(t=0) = Q(t_0) \)
\( x = t \)\( x_0 = t_0 \)
\( m = \dfrac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} = i\) Der Anstieg \( m \) der Geraden im ersten Intervall ist 1.
(Dies entspricht der Ableitung der Ladung nach der Zeit \( \mathrm{d}Q/\mathrm{d}t \).)

Gesucht ist also:

\( Q = f (t) \)

Damit gilt:

\( Q(t) - Q(t_0) = \dfrac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} · (t - t_0) \)

oder umgestellt nach \( Q(t) \):

\( Q(t) = Q(t_0) + \dfrac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} · (t - t_0) \)

Das Einsetzen der Zahlenwerte für den ersten Geradenabschnitt

\( t_0 = 0, \quad \) \( Q(t_0) = 0, \quad \) \( m = \dfrac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} = i = 1 \, \mathrm{mA} \)

liefert den Ladungsverlauf in Abhängigkeit von der Zeit im Intervall \( 0 \leq t \leq 1s\)

\( Q(t) = 0 \, \mathrm{mC} + 1 \, \mathrm{mA} · (t - 0) \)
\( Q(t) = 1 \, \mathrm{mA} · t \)

Analog berechnet man den Ladungsverlauf für die nachfolgenden Intervalle der abschnittsweise definierten Funktion \( Q(t) \). Beachten Sie dabei die Intervallgrenzen und die jeweiligen Anstiege der Funktion \( Q(t) \)!

Versuchen Sie es! Sie schaffen das bestimmt!