Bestimmtes Integral
Wie wird das bestimmte Integral ausgewertet?
Elektrotechnisches Problem
Die nebenstehende Abbildung zeigt den Stromverlauf \( i(t) \) durch einen Strömungsquerschnitt, wie zum Beispiel durch ein Kupferkabel.
Zu ermitteln ist anhand des Funktionsgraphen, welche Ladungsmenge \( Q(t) \) den Strömungsquerschnitt passiert?
Für den Anfangszeitpunkt der Betrachtung \( t = 0 s \) gilt, dass die Anfangsladungmenge \( Q_0 = 1 \, \mathrm{mC} \) beträgt.
Notwendige mathematische Grundlagen :
Für das zu lösende bestimmte Integral gilt nach dem ersten Hautpsatz der Integralrechnung:
\( Q(t) = \displaystyle\int \limits_{t_0}^t i(t)\mathrm{d}t=F(t)-F(t_0) \)
mit der Stammfunktion \(F(t)\) (=Funktion, deren Ableitung auf die Ausgangsfunktions führt).
Schrittfolge zur Auswertung bestimmter Integrale:| 1. | Es ist die Stammfunktion \( F(t) \) zu bestimmen (Hier sollten Sie eventuell die Integrationsregeln und -methoden elementarer Funktionen wiederholen.) |
| 2. | Unter Einbeziehung der Werte der Integrationsgrenzen ist die Differenz \( F(t) - F(t_0) \) zu ermitteln. |
Auf die obige Elektrotechnik-Aufgabenstellung zugeschnitten heißt das:
| 1. | für den Stromverlauf im Abschnitt \( 0 \, \mathrm{s} ≤ t ≤ 1 \, \mathrm{s} \) gilt: \( i(t) = 1 \, \mathrm{mA} \) (= Konstante) die Stammfunktion ist dann: \( F(t) = 1 \, \mathrm{mA} · t \) |
| 2. | für die Funktion der Ladungsmenge \( Q(t) = F(t) - F(t_0) \) mit den Integrationsgrenzen \( t_0 = 0 \ \mathrm{s}\) und \( t\) folgt: \( Q(t) = 1 \, \mathrm{mA} · t - 1 \, \mathrm{mA} · t_0 \) \( Q(t) = 1 \, \mathrm{mA} · t \) |
Analog ist der Ladungsverlauf für die verbleibenden Intervalle anhand der abschnittsweise definierten Funktion \(i(t)\) zu ermitteln.
