Bestimmtes Integral

Wie wird das bestimmte Integral ausgewertet?

Elektrotechnisches Problem

Die nebenstehende Abbildung zeigt den Stromverlauf \( i(t) \) durch einen Strömungsquerschnitt.

Welche Ladungsmenge \( Q(t) \) passiert den Strömungsquerschnitt?

Für \( t = 0 \) ist \( Q_0 = 1 \, \mathrm{mC} \).


Aufgabe 1.2b) aus dem Lernprogramm „Grundstromkreis“



Notwendige mathematische Grundlagen :

Für das zu lösende bestimmte Integral gilt nach dem ersten Hautpsatz der Integralrechnung:

\( Q(t) = \displaystyle\int \limits_{t_0}^t i(t)\mathrm{d}t=F(t)-F(t_0) \)

mit der Stammfunktion \(F(t)\) (=Funktion, deren Ableitung auf die Ausgangsfunktions führt).

Schrittfolge zur Auswertung bestimmter Integrale:
1.Es ist die Stammfunktion \( F(t) \) zu bestimmen
(Hier sollten Sie eventuell die Integrationsregeln und -methoden elementarer Funktionen wiederholen.)
2.Unter Einbeziehung der Werte der Integrationsgrenzen ist die Differenz \( F(t) - F(t_0) \) zu ermitteln.

Auf die obige Elektrotechnik-Aufgabenstellung zugeschnitten heißt das:
1.für den Stromverlauf im Abschnitt \( 0 \, \mathrm{s} ≤ t ≤ 1 \, \mathrm{s} \) gilt:
\( i(t) = 1 \, \mathrm{mA} \) (= Konstante)

die Stammfunktion ist dann:
\( F(t) = 1 \, \mathrm{mA} · t \)
2.für die Funktion der Ladungsmenge \( Q(t) = F(t) - F(t_0) \) mit den Integrationsgrenzen \( t_0 = 0 \ \mathrm{s}\) und \( t\) folgt:
\( Q(t) = 1 \, \mathrm{mA} · t - 1 \, \mathrm{mA} · t_0 \)
\( Q(t) = 1 \, \mathrm{mA} · t \)

Analog ist der Ladungsverlauf für die verbleibenden Intervalle anhand der abschnittsweise definierten Funktion \(i(t)\) zu ermitteln.

Die Auswertung bestimmter Integrale können Sie wie bisher mit Papier und Stift und guten Formelsammlungen bzw. Integralsammlungen durchführen.


Eine Alternative, besonders bei komplizierten Berechnungen, besteht in der Nutzung von Computeralgebrasystemen (z.B. Mathcad).

Ein Beispiel ist unter Integral mit Mathcad zu finden.