Lineare Quellen
Lineare Strom-Spannungs-Kennlinie aktiver Elemente
Die lineare Elektrotechnik approximiert das Klemmenverhalten des Erzeugerzweipols durch die Kennlinien gemäß dieser Kennlinie:
- Klemmenverhalten von Erzeugerzweipolen
Ideale Spannungsquelle
Die ideale Spannungsquelle ist ein aktiver Zweipol, der an seinen Klemmen eine konstante Klemmenspannung \( U \) unabhängig von der Größe des Klemmenstromes \( I \) bereit stellt.
Schaltbild:
- Schaltbild ideale Spannungsquelle
\( U \)-\( I \)-Kennlinie:
- Kennlinien ideale Spannungsquelle
und Widerstand
\( U_\mathrm{q} \) ist die Quellenspannung, \( U_\mathrm{L} \) ist die Leerlaufspannung bei \( I = 0 \), es gilt als Kennlinie:
\( U(I) = U_\mathrm{L} = U_\mathrm{q} \) | (79) |
Bei Belastung der idealen Spannungsquelle mit einem Widerstand \( R_\mathrm{a} \) stellt sich als Arbeitspunkt dasjenige Wertepaar ein, das dem Schnittpunkt der Kennlinien zukommt:
\( U = U_\mathrm{q} \) | (80) |
\( I = \dfrac{U}{R_\mathrm{a}} = \dfrac{U_\mathrm{q}}{R_\mathrm{a}} \) | (81) |
Zu beachten ist, dass die \( U \)-\( I \)-Kennlinie der Spannungsquelle im Erzeugerzählpfeilsystem und die \( U \)-\( I \)-Kennlinie des ohmschen Widerstandes im Verbraucherzählpfeilsystem dargestellt ist. Nur mit diesem Kompromiss lassen sich die Kennlinien zum Schnitt (Arbeitspunkt) bringen.
Ideale Stromquelle
Die ideale Stromquelle ist ein aktiver Zweipol, der an seinen Klemmen einen konstanten Klemmenstrom \( I \) unabhängig von der Größe der Klemmenspannung \( U \) bereitstellt.
Schaltbild:
- Schaltbild ideale Stromquelle
\( U \)-\( I \)-Kennlinie
- Kennlinien ideale Stromquelle und Widerstand
\( I_\mathrm{q} \) ist der Quellenstrom, \( I_\mathrm{K} \) ist der Kurzschlussstrom an den Klemmen bei \( U = 0 \), es gilt als Kennlinie:
\( I(U) = I_\mathrm{K} = I_\mathrm{q} \) | (82) |
Bei Belastung der idealen Stromquelle mit einem Widerstand \( R_\mathrm{a} \) stellt sich als Arbeitspunkt dasjenige Wertepaar ein, das dem Schnittpunkt der Kennlinien zukommt:
\( I = I_\mathrm{q} \) | (83) |
\( U = R_\mathrm{a} I = R_\mathrm{a} I_\mathrm{q} \) | (84) |
Zu beachten ist, dass die \( U \)-\( I \)-Kennlinie der Stromquelle im Erzeugerzählpfeilsystem und die \( U \)-\( I \)-Kennlinie des ohmschen Widerstandes im Verbraucherzählpfeilsystem dargestellt ist. Nur mit diesem Kompromiss lassen sich die Kennlinien zum Schnitt (Arbeitspunkt) bringen.
Lineare Spannungsquelle
Die lineare Spannungsquelle zeigt als Klemmenverhalten eine fallende Gerade, die die Achsenabschnitte Leerlaufspannung \( U_\mathrm{L} (I = 0) \) und Kurzschlussstrom \( I_\mathrm{K} (U = 0) \) verbindet.
Schaltbild:
- Schaltbild lineare Spannungsquelle
\( U \)-\( I \)-Kennlinie:
- Kennlinie lineare Spannungsquelle
Über die Achsenabschnittsgleichung der Geraden findet man:
\( \dfrac{U}{U_\mathrm{L}} + \dfrac{I}{I_\mathrm{K}} = 1, \) | (85) |
\( U = U_\mathrm{L} - \dfrac{U_\mathrm{L}}{I_\mathrm{K}} I = U_\mathrm{q} – R_\mathrm{i} I \) | (86) |
Damit ist das Klemmenverhalten eines linearen aktiven Zweipols unabhängig vom tatsächlichen Aufbau und den physikalischen Vorgängen beschreibbar durch eine Ersatzschaltung. Die Ersatzschaltung besteht aus der Reihenschaltung einer idealen Spannungsquelle mit der Quellenspannung \( U_\mathrm{q} \) und einem Widerstand, dem sogenannten Innenwiderstand \( R_\mathrm{i} \) mit:
\( U_\mathrm{L} = U_\mathrm{q} \) | (87) |
\( R_\mathrm{i} = \dfrac{U_\mathrm{L}}{I_\mathrm{K}} \) | (88) |
Die Elemente der Ersatzschaltung \( U_\mathrm{q} , R_\mathrm{i} \) lassen sich auch aus 2 Punkten der Kennlinie \( U_1, I_1, U_2, I_2 \) aus der Zweipunktgleichung der Geraden ermitteln:
\( \dfrac{U-U_1}{I-I_1} = \dfrac{U_2-U_1}{I_2-I_1} \) | (89) |
\( U = \dfrac{U_1 I_2 – U_2 I_1}{I_2 - I_1} - \dfrac{U_1 – U_2}{I_2 - I_1} I = U_\mathrm{q} – R_\mathrm{i} I \) | (90) |
\( U_\mathrm{q} = \dfrac{U_1 I_2 – U_2 I_1}{I_2 – I_1} \) | (91) |
\( R_\mathrm{i} = \dfrac{U_1 - U_2}{I_2 – I_1} \) | (92) |
Lineare Stromquelle
Das Klemmenverhalten eines aktiven linearen Zweipols lässt sich neben der Ersatzschaltung lineare Spannungsquelle durch eine Ersatzschaltung lineare Stromquelle erfassen.
Schaltbild:
- Schaltbild lineare Stromquelle
\( U \)-\( I \)-Kennlinie:
- U-I-Kennlinie der linearen Stromquelle
Über die Achsenabschnittsgleichung der Geraden findet man:
\( I = I_\mathrm{K} - \dfrac{I_\mathrm{K}}{U_\mathrm{L}} U = I_\mathrm{q} - G_\mathrm{i} U \) | (93) |
Die Ersatzschaltung besteht aus der Parallelschaltung einer idealen Stromquelle mit dem Quellenstrom \( I_\mathrm{q} \) und einem Leitwert, dem sogenannten Innenleitwert \( G_\mathrm{i} \).
Die Ersatzschaltungen lineare Spannungsquelle und lineare Stromquelle sind bezüglich der \( U \)-\( I \)-Kennlinien gleichwertig. Die Umrechnungsbeziehungen lauten:
\( G_\mathrm{i} = \dfrac{I_\mathrm{K}}{U_\mathrm{L}} = \dfrac{1}{R_\mathrm{i}} \) | (94) |
\( I_\mathrm{q} = I_\mathrm{K} = G_\mathrm{i} U_\mathrm{q} = \dfrac{U_\mathrm{q}}{R_\mathrm{i}} \) | (95) |
