Ladung - Strom

Beispiel 01

a)
Die nebenstehende Abbildung zeigt die Ladungsmenge \( Q \) an, die einen Strömungsquerschnitt passiert.

Es ist der Ladungsverlauf in Abhängigkeit von der Zeit \( Q(t) \) in den jeweiligen Zeitbereichen anzugeben und daraus der Stromverlauf \( i(t) \) durch den Strömungsquerschnitt zu bestimmen.

b)
Die nebenstehende Abbildung zeigt den Stromverlauf \( i(t) \) durch einen Strömungsquerschnitt.

Welche Ladungsmenge \( Q(t) \) passiert den Strömungsquerschnitt?

Für \( t = 0 \) ist \( Q_0 = 1 \, \mathrm{mC} \).


Lösung zu a)

Der Ladungsverlauf in den Zeitbereichen wird über die Punktrichtungsgleichung der Geraden angegeben. Der Stromverlauf bestimmt sich aus Gleichung (3).

\( i = \lim \limits_{\mathrm{Δ}t \to 0} \dfrac{\mathrm{Δ}Q}{\mathrm{Δ}t} = \dfrac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} \)
\( \mathbf{t} \) \( \mathbf{Q(t)} \) \( \mathbf{i(t)} \)
\( 0 \, \mathrm{s} ≤ t ≤ 1 \, \mathrm{s} \) \( 1 \, \mathrm{mA} · t \) \( 1 \, \mathrm{mA} \)
\( 1 \, \mathrm{s} ≤ t ≤ 3 \, \mathrm{s} \) \( 1 \, \mathrm{mC} \) \( 0 \, \mathrm{mA} \)
\( 3 s ≤ t ≤ 5 s \) \( -0,5 \, \mathrm{mA} · (t - 5 \, \mathrm{s}) \) \( -0,5 \, \mathrm{mA} \)
\( 5 \, \mathrm{s} ≤ t ≤ 6 \, \mathrm{s} \) \( -1 \, \mathrm{mA} · (t - 5 \, \mathrm{s}) \) \( -1 \, \mathrm{mA} \)
\( 6 \, \mathrm{s} ≤ t ≤ 7 \, \mathrm{s} \) \( 1 \, \mathrm{mA} · (t - 7 \, \mathrm{s}) \) \( 1 \, \mathrm{mA} \)

Die Zeitverläufe \( Q(t) \) und \( i(t) \) zeigt diese Grafik:

Zeitverläufe i(t) und Q(t)

Lösung zu b)

Die Ladungsmenge wird nach Gleichung (7) berechnet:

\( Q(t) = Q(t_0) + \displaystyle\int\limits_{t_0}^t i \: \mathrm{d}t \)
\( \mathbf{t} \) \( \mathbf{i(t)} \) \( \mathbf{Q(t)} \)
\( 0 \, \mathrm{s} ≤ t ≤ 1 \, \mathrm{s} \) \( 1 \, \mathrm{mA} \) \( 1 \, \mathrm{mC} + 1 \, \mathrm{mA} · t \)
\( 1 \, \mathrm{s} ≤ t ≤ 3 \, \mathrm{s} \) \( 0 \, \mathrm{mA} \) \( 2 \, \mathrm{mC} \)
\( 3 \, \mathrm{s} ≤ t ≤ 5 \, \mathrm{s} \) \( -0,5 \, \mathrm{mA} \) \( 2 \, \mathrm{mC} - 0,5 \, \mathrm{mA} · (t - 3 \, \mathrm{s}) \)
\( 5 \, \mathrm{s} ≤ t ≤ 6 \, \mathrm{s} \) \( -1 \, \mathrm{mA} \) \( 1 \, \mathrm{mC} - 1 \, \mathrm{mA} · (t - 5 \, \mathrm{s}) \)
\( 6 \, \mathrm{s} ≤ t ≤ 7 \, \mathrm{s} \) \( 1 \, \mathrm{mA} \) \( 1 \, \mathrm{mA} · (t - 6 \, \mathrm{s}) \)

Die Zeitverläufe \( i(t) \) und \( Q(t) \) zeigt diese Grafik:

Zeitverläufe i(t) und Q(t)