Kirchhoffsche Sätze
Die Kirchhoffschen Sätze werden ausführlich im Kompendium des Lernprogramms Grundbegriffe, Zweipole und Grundstromkreis:Kirchhoffscher Knotenpunktsatz bzw. Kirchhoffscher Maschensatz" vorgestellt.
An dieser Stelle zur Erinnerung:
1. Kirchhoffscher Satz (Knotensatz)
An Stromverzweigungspunkten elektrischer Netzwerke – also den Knoten – ist die Summe der zum Knoten hinfließenden Ströme gleich der Summe aller vom Knoten wegfließenden Ströme.
\( \displaystyle\sum_{ν = 1}^{n}I_{ν \ \mathrm{ab}} = \displaystyle\sum_{μ = 1}^{m}I_{μ \ \mathrm{zu}} \)
2. Kirchhoffscher Satz (Maschensatz)
Auf einem geschlossenen und in beliebiger Richtung durchlaufendem Weg in einem elektrischen Netzwerk – also einer Masche – ist die Summe aller Teilspannungen gleich null. Für die Vorzeichen der Spannungen sei vereinbart: alle Spannungen, deren Pfeilrichtung mit der gewählten Umlaufrichtung übereinstimmen sind mit positivem Vorzeichen zu berücksichtigen und mit entgegengesetzter Umlaufrichtung mit negativem Vorzeichen.
\( \displaystyle\sum_{ν = 1}^{n}U_{ν \ \mathrm{vzb}} = 0 \) (vzb = vorzeichenbehaftet)
Ein Netzwerk lässt sich dann mathematisch vollständig beschreiben, wenn das Gleichungssystem ebenso viele unabhängige Gleichungen enthält wie das
Netzwerk Zweige.
Abhängig von der jeweiligen Topologie des
Netzwerkes sind entsprechend viele Knoten- bzw. Maschengleichungen mittels der Kirchhoffschen Sätze aufzustellen.
Topologische Betrachtung
Sei:
- \( k \) die Anzahl der Knoten in einem Netzwerk und
- \( z \) die Anzahl der Zweige,
so ist die für das Gleichungssystem notwendige Anzahl der:
| linear unabhängigen Knotengleichungen: | \( α = k - 1 \) |
| linear unabhängigen Maschengleichungen: | \( β = z - α = z - k + 1 \) |
Die Wahl der \( β \) Maschen ist beliebig, jedoch muss jeder Zweig in mindestens einer Masche enthalten sein. Damit entstehen durch die Nutzung der Kirchhoffschen Sätze genauso viele linear unabhängige Gleichungen, wie das Netzwerk Zweige hat.
Beispiel 1:
Eine Schaltung mit der nebenstehenden topologischen Struktur hat 5 Knoten und 8 Zweige.
Zur Berechnung des Netzwerkes werden also
\( α = k - 1 = 4 \ \) Knotengleichungen und
\( β = z - α = 4 \ \) Maschengleichungen benötigt.
Zur eindeutigen Kennzeichnung der Knoten und Zweige empfiehlt es sich, diese fortlaufend durchzunummerieren.
Hinweis: Bewegen Sie die Maus über die Grafik.
Beispiel 2:
Bestimmen Sie zu den beiden gegebenen Schaltungen die Anzahl der Knoten und Zweige und damit die Anzahl der notwendigen Knoten- und Maschengleichungen, um das Netzwerk vollständig beschreiben zu können.
