Newtonverfahren
Von einer Nullstellengleichung:
\( f (x) = 0 \)
sei ein Näherungswert \( a \) eine Lösung \( x_0 \) bekannt. Die Näherung \( a \) sei um die Entfernung \( h \) von der Lösung \( x_0 \) entfernt:
\( x_0 = a + h \)
Nach Taylor gilt:
\( f (x_0) = f(a) + \dfrac{h}{1!}f'(a) + \dfrac{h^2}{2!}f''(a) ... \)
Bricht man die Reihe nach dem 2. Glied ab und setzt \( a = x_n, a + h = x_{n+1} \), dann erhält man eine verbesserte Näherung \( x_{n+1} \) aus:
\( x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} \)
Beispiel:
Wie groß ist \( \sqrt{5} \)?Nullstellengleichung:
\( x^2 - 5 = 0 \)
Näherungswert (Startwert):
\(
\begin{array}{lll}
x_n & \; = \; & 2 \\
x_{n+1} & \; = \; & x_n - \dfrac{x_n^2 - 5}{2 x_n} = 2{,}25 \\
x_{n+2} & \; = \; & 2,236 \\
x_{n+3} & \; = \; & 2,22361 \\
x_{n+4} & \; = \; & 2,236068 \end{array}
\)
