Spannungsquelle mit Halbleiterdiode (2)

Beispiel 21

Halbleiterdiode als Verbraucher

Eine Diode liegt an einer linearen Spannungsquelle (Bild). Als Parameter sind gegeben:

\( U_\mathrm{q} = 1 \, \mathrm{V} \),
\( R_\mathrm{i} = 12{,}5 \, \mathrm{Ω} \) bzw. \( 50 \, \mathrm{Ω} \),
für die Diode gilt \( I_\mathrm{S} = 1 \, \mathrm{pA} \) (Siliziumdiode),
\( m·U_\mathrm{T} = 25 \, \mathrm{mV} \)

a)Es sollen durch Kennlinienschnitt grafisch (\( I \)-\( U \)-Diagramm) die Arbeitspunkte \( U, I \) der Anordnung für \( R_\mathrm{i} = 12{,}5 \, \mathrm{Ω} \) bzw. \( 50 \, \mathrm{Ω} \) ermittelt werden. Wie verändert sich die Spannung am Widerstand \( R_\mathrm{i} \)?
b)Es soll näherungsweise analytisch der Arbeitspunkt auf der Diodenkennlinie für \( R_\mathrm{i} = 12{,}5 \, \mathrm{Ω} \) und \( 50 \, \mathrm{Ω} \) berechnet und mit der grafischen Lösung verglichen werden.
c)Die grafische und analytische Lösung bei wählbaren Parametern erhält man mit dem MathCad-Arbeitsblatt Grundstromkreis mit Halbleiterdiode (2).

Lösung zu a)

In das Diagramm werden die Kennlinie der Diode und die Kennlinien der Spannungsquelle für unterschiedliche \( R_\mathrm{i} \) eingetragen. Der Schnittpunkt der Kennlinien liefert jeweils den Arbeitspunkt.

Die Spannungsänderung am Widerstand Ri folgt aus:

\( U_\mathrm{i} = U_\mathrm{q} - U \)

Aus der Widerstandsänderung von \( R_\mathrm{i} = 12{,}5 \, \mathrm{Ω} \) bis \( 50 \, \mathrm{Ω} \) folgt die Spannungsänderung von ca. \( U_\mathrm{i} = 0{,}4 \, \mathrm{V} \) bis \( 0{,}43 \, \mathrm{V} \) (Spannungsstabilisierung).

Lösung zu b)

Zur näherungsweisen analytischen Bestimmung der Arbeitspunkte setzt man die Spannungsgleichungen (bzw. Stromgleichungen) von Quelle und Diode gleich und erhält nach Umformen die nichtlineare Nullstellengleichung für den Strom (die Spannung).

Die näherungsweise Lösung der Nullstellengleichung gelingt mit dem Newton-Verfahren.

Die grafische Lösung liefert einen guten Startwert.

Stromgleichung für Quelle (Gleichung (93)):

\( I = \dfrac{U_\mathrm{q}}{R_\mathrm{i}} - \dfrac{1}{R_\mathrm{i}}·U \)

Stromgleichung für Diode (Gleichung (75)):

\( I = I_\mathrm{S} \left(\mathrm{e}^{\left(\dfrac{U}{m · U_\mathrm{T}}\right)} -1 \right) \)

Nullstellengleichung:

\( \begin{array}{lll} f(U) & \; = \; & 0 = \dfrac{U_\mathrm{q}}{R_\mathrm{i}} - \left( \dfrac{1}{R_\mathrm{i}}·U \right) - I_\mathrm{S} \left(\mathrm{e}^{\left(\dfrac{U}{m · U_\mathrm{T}}\right)} -1 \right) \\ f'(U) & \; = \; & \dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}U} = - \dfrac{1}{R_\mathrm{i}} - \dfrac{1}{m · U_\mathrm{T}} I_\mathrm{S} \left(\mathrm{e}^{\left(\dfrac{U}{m · U_\mathrm{T}}\right)} \right) \end{array} \)

\( U_n = \) Startwert; \( U_{n+1} \) = verbesserter Wert

\( \begin{array}{l} U_{n+1} = U_n - \dfrac{f (U)}{f'(U)} \\ U_{n+1} = U_n - \dfrac{ \dfrac{U_\mathrm{q}}{R_\mathrm{i}} - \left( \dfrac{1}{R_\mathrm{i}}·U \right) - I_\mathrm{S} \left(\mathrm{e}^{\left(\dfrac{U}{m · U_\mathrm{T}}\right)} -1 \right) }{ - \dfrac{1}{R_\mathrm{i}} - \dfrac{1}{m · U_\mathrm{T}} I_\mathrm{S} \left(\mathrm{e}^{\left(\dfrac{U}{m · U_\mathrm{T}}\right)} \right) } \end{array} \)

\( R_\mathrm{i} = 12{,}5 \, \mathrm{Ω} \) Startwert: \( U_n = 0{,}6 \, \mathrm{V} \)

\( \begin{array}{lll} U_{n+1} & \; = \; & 0{,}605\;\mathrm{V} \\ U_{n+1} & \; = \; & 0{,}604\;\mathrm{V} \\ U_{n+1} & \; = \; & 0{,}6044\;\mathrm{V} \end{array} \)

Arbeitspunkt: \( U = 0{,}6044 \, \mathrm{V}; I = 31{,}6 \, \mathrm{mA} \)


\( R_\mathrm{i} = 50 \, \mathrm{Ω} \) Startwert: \( U_n = 0{,}6 \, \mathrm{V} \)

\( \begin{array}{lll} U_{n+1} & \; = \; & 0{,}58\;\mathrm{V} \\ U_{n+1} & \; = \; & 0{,}573\;\mathrm{V} \\ U_{n+1} & \; = \; & 0{,}572\;\mathrm{V} \end{array} \)

Arbeitspunkt: \( U = 0{,}572 \, \mathrm{V}; I = 8{,}56 \, \mathrm{mA} \)

Vergleich mit der grafischen Lösung!