Integral mit Mathcad

Wie wird das bestimmte Integral mit Mathcad ausgewertet?

Notwendige mathematische Grundlagen:

Für das zu lösende bestimmte Integral gilt:

\( Q(t) = \displaystyle\int \limits_{t_0}^t i(t)\mathrm{d}t = F(t) - F(t_0) \)

Allgemeine Schrittfolge zur Auswertung bestimmter Integrale:

  1. eine Stammfunktion \( F(t) \) bestimmen (eventuell Substitutionsmethode wiederholen!),
  2. Differenz \( F(t)-F(t_0) \) berechnen,
  3. Maßeinheiten angeben.

Die Auswertung dieses bestimmten Integrals können Sie wie bisher mit Papier und Stift und guten Formelsammlungen bzw. Integralsammlungen durchführen, etwa so:

Die zu integrierende Funktion kann als verkettete Funktion aufgefasst werden und somit durch die Substitutionsmethode gelöst werden.

\( t = \mathrm{e}^{- \dfrac{t}{τ}} = \mathrm{e}^{ω(t)} \)

Substitution und Differentiation der inneren Funktion

\( ω(t) = - \dfrac{t}{τ} \quad \) → \( \quad \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} ω = - \dfrac{1}{τ} \)

und nach \( \mathrm{d}t \) umstellen.

\( \mathrm{d}t = -τ·\mathrm{d}ω \)

Somit lautet das Integral für die Hilfsvariable \( \mathrm{d}ω \):

\( \displaystyle\int i(ω(t)) \mathrm{d}ω = -τ·\mathrm{e}^{ω(τ)} \)

Durch Rücksubstitution folgt:

\( \displaystyle\int i(t) \mathrm{d}t = -τ·\mathrm{e}^{- \dfrac{t}{τ}} \)

Versuchen Sie nun das bestimmte Integral zu lösen
Aufgabe 1.4 aus dem Lernprogramm „Grundstromkreis“


Folgende Schrittfolge zeigt Ihnen, wie Sie das Integral für den Ladungsverlauf \( Q(t) \) im Intervall \( 0 \, \mathrm{s} ≤ t ≤ 1 \, \mathrm{s} \) einfach berechnen können und sollte Sie motivieren, zukünftige Berechnungen mit diesem leistungsfähigen Ingenieurwerkzeug effektiv durchzuführen.

Arbeiten Sie parallel in dem Mathcad Fenster nach diesem Handlungsablauf:

  1. Schritt: Mathcad aufrufen,
  2. Schritt: Ansicht, Symbolleiste, Taschenrechner, Differential/Integral,
  3. Schritt: Bestimmtes Integral anklicken,
  4. Schritt: alle Leerstellen entsprechend der Aufgabe ausfüllen
  5. Schritt: Leertaste drücken, = Taste drücken.
  6. Schritt: Maßeinheiten einfügen, fertig!

Und so sieht die Lösung des Integrals für \( t=1 \, \mathrm{s} \) aus:

\( \displaystyle\int \limits_{\blacksquare}^{\blacksquare} \blacksquare \; \mathrm{d} \blacksquare → \displaystyle\int \limits_{\blacksquare}^{\blacksquare} 1 \; \mathrm{d} \blacksquare → \displaystyle\int \limits_0^{\blacksquare} 1 \; \mathrm{d} \blacksquare → \displaystyle\int \limits_0^1 1 \; \mathrm{d} \blacksquare → \displaystyle\int \limits_0^1 1 \; \mathrm{d} t → \displaystyle\int \limits_{0 \, \mathrm{s}}^{1 \, \mathrm{s}} 1 \, \mathrm{mA} \; \mathrm{d} t = 1 × 10^{-3} \mathrm{C} \)

Perfekt lösen Sie alle im Beispiel auftretenden Integrale durch folgendes Vorgehen:

1. Eingabe:Integranduntere Grenzeobere Grenze
\( i(t) := 1 \, \mathrm{mA} \)\( t0 := 0 \, \mathrm{s} \)\( t := 1 \, \mathrm{s} \)
2. Eingabe:\( \displaystyle\int \limits_{\blacksquare}^{\blacksquare} \blacksquare \; \mathrm{d} \blacksquare \)\( \displaystyle\int \limits_{\mathrm{t}0}^\mathrm{t} i(t) \; \mathrm{d}t \)Leertaste

= Taste
\( \displaystyle\int \limits_{\mathrm{t}0}^\mathrm{t} i(t) \; \mathrm{d}t = 1 × 10^{-3} \mathrm{A} t \)

Wenn Sie jetzt in der 1. Eingabe die entsprechenden Werte für die übrigen Intervalle eingeben, haben Sie alle geforderten Integrale gelöst.

Viel Erfolg!